三垂线定理(上课).ppt

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1、三垂线定理及其应用aAPoα一、三线概念:平面的斜线、垂线、射影aAPoαPO是平面α的斜线,O为斜足;PA是平面α的垂线,A为垂足;AO是PO在平面α内的射影.三垂线定理：垂直于射影则垂直于斜线三垂线定理的逆定理垂直于斜线则垂直于射影PMCABPAOaαA1C1CBB1OAαaP利用三垂线定理及其逆定理的关键是要善于从图形中找出“平面的垂线”、“平面的斜线”、“斜线的射影”。PCBA例1:已知P是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求证：PC⊥BC证明：∵PA⊥平面ABC∴AC是斜线PC在平面ABC上的射影∵BC⊥AC∴PC⊥BC（三垂线定理）例2:直接利用三垂线

2、定理证明下列各题：(1)PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点求证：PO⊥BD，PC⊥BD(3)在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BC⊥AMADCBA1D1B1C1(1)(3)BPMCA(2)POABCD例2(1)PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：PO⊥BD，PC⊥BDPOABCD证明:∵ABCD为正方形O为BD的中点∴AO⊥BD又AO是PO在ABCD上的射影PO⊥BD同理，AC⊥BDAO是PO在ABCD上的射影PC⊥BDPMCAB例2（2）已知：P

3、A⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BC⊥AMBC⊥AM证明:PB=PCM是BC的中点PM⊥BCA⊥平面PBCPM是AM在面PBC上的射影(3)在正方体AC1中，求证：A1C⊥BC1，A1C⊥B1D1∵在正方体AC1中A1B1⊥面BCC1B1且BC1⊥B1C∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影CBA1B1C1ADD1证明：CBA1B1C1ADD1同理可证，A1C⊥B1D1由三垂线定理知A1C⊥BC1例3：正方体ABCD-A’B’C’D’E,F分别是AA’,AB上的点,EC’⊥EF，求证:EF⊥EB’证明:∵ABCD-A’B’C’D’是正方体∴B’C

4、’⊥平面ABB’A’,EB’是斜线EC’在平面ABB’A’上的射影.∵EC’⊥EF且EF在平面ABB’A’内∴EF⊥EB’ABCDA’B’C’D’EF例4.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ΔABC是直角三角形，∠ABC=900，2AB=BC=BB1=a，且A1C∩AC1=D，BC1∩B1C=E，截面ABC1与截面A1B1C交于DE。（1）求证：A1C⊥BC1；（2）求证：DE⊥平面BB1C1C。例5．如图P是ABC所在平面外一点，PA＝PB，CB平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，AN＝3NB（1）求证：MNAB；（2）当APB＝90，AB＝2BC

5、＝4时，求MN的长。