《 间接证明》课件.ppt

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1、2.2.2间接证明高中数学问题情境基本概念间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法.反证法是一种常用的间接证明方法.否定结论导致矛盾否定命题不成立原结论成立反设归谬存真基本概念反证法的过程包括以下三个步骤：(1)反设——假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真；(2)归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；(3)存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.先求出周期思路用反证法证明2π是最小正周期.例1求证：正弦函数没有比2π小的正周期.例1假设T是正弦函数的周期则对任意实数x都有:解令x＝0，得即从而对任意实数x都应有这

2、与矛盾.因此，原命题成立.求证：正弦函数没有比2π小的正周期.假设最小正周期0＜T＜2π故T＝π习题1.求证:若一个整数的平方是偶数，则这个数也是偶数.假设这个整数是奇数，可以设为2k＋1，证则有而不是偶数这与原命题条件矛盾.假设是有理数，可设(1)其中p，q为互素的整数，q＞0．将(1)两边平方，变形的2p2＝q2(2)(2)式表明，q2是2的倍数，从而q也是2的倍数．设q＝2l(l∈N＋)，代入(2)式得p2＝2l2(3)(3)式表明，p2是2的倍数，从而p也是2的倍数．则p与q都是2的倍数，它们至少有公约数2，这与p，q互素矛盾，因此不是有理数．例题2求证：不

3、是有理数.例3设a3＋b3＝2，求证a＋b≤2．证明：假设a＋b＞2，则有a＞2－b．从而a3＞8－12b＋6b2－b3，a3＋b3＞6b2－12b＋8＝6(b－1)2＋2，因为6(b－1)2＋2≥2，所以a3＋b3＞2，这与题设条件矛盾，所以，原不等式a＋b≤2成立．a3＋b3＝2小结间接证明反证法同一法枚举法注意一：“否定所证结论”是反证法的第一步，它的正确与否直接影响能否正确使用反证法．注意三：在反证法证题的过程中，经常画出某些不正确的图形，甚至是不可能存在的图形，这样做的目的，是为了能清楚地说明问题．在证明过程中，每一步推理所得结论的正确性，应完全由它所依据

4、的理由来保证，而不能借助图形的直观性，这与用直接证法借助图形的直观性找到证题的途径是不完全一样的．否定结论的步骤是：①弄清结论本身的情况；②找出结论的全部相反情况；③正确地否定上述结论．注意二：反证法中引出矛盾的结论，不是推理本身的错误，而是由于开始假定“结论的反面是正确的”是错误的．注意四：用反证法证明命题时，若原命题结论的反面不惟一，这时要把每种可能一一否定，不要遗漏．注意事项