最大和最小值问题.ppt

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1、最大值和最小值问题2.21最值的概念如果在函数定义域内存在一点x0,使得对定义域内的任何一个数x,总有f(x)≤f(x0)（或f(x)≥f(x0)）,则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值(或最小值).2极值和最值的区别：2.在定义域内,最值唯一，极值不唯一;3.极大值不一定比极小值大，而最大值一定比最小值大.1.函数的极值是局部概念,而最值是一个整体概念；3xx20ax3bx1y观察右边定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象.发现图中____________是极小值，_____

2、____是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)问题提出：如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出它的最小值和最大值呢？4求解函数最值的方法：求函数y=f(x)在区间[a,b]内的最大值和最小值，分以下几个步骤：(1)求函数y=f(x)在区间(a,b)内极值；(3)将函数的极值与f(a)和f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(2)求端点处的函数值f(a)和f(b)；5例4.求函数y=f(

3、x)=x3-2x2+5在区间[-2，2]上的最大值和最小值.解:f′(x)=3x2–4x=x(3x–4)令f′(x)=0,得x1=0,x2=4/3由x1,x2列表可得：x-2(-2,0)0(0,4/3)4/3(4/3,2)2f′(x)y=f(x)20由上表得:最大值是f(2)=5,最小值是f(-2)=-11+0-+04-11↗↗↘5极大值5极小值103/276求解函数最值的实际问题例5：一边长为48cm的正方形铁皮，四角切去相等的小正方形，然后折起，做成一个无盖的长方体容器，所得容器的容积V（单

4、位：cm3）是关于截去的小正方形的边长x（单位:cm）的函数.(1)随着x的变化，容积V是如何变化的？(2)x为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？xx解:(1)由题意得:V=f(x)=(48-2x)2x(0﹤x﹤24)f′(x)=-4x(48-2x)+(48-2x)2=12(x-24)(x-8)令f′(x)=0,得x1=8,x2=247根据x1,x2列出如下表：x(0,8)8(8,24)f′(x)V=f(x)由上可知：当0＜x≤8时，函数V=f(x)是增加的；当8≤x＜24时，函数V=f(

5、x)是减少的。图像如右上图所示：0x/cmV/cm3816248192（2）由图像知:区间(8，24)上任意一点的函数值都不超过f(8),因此，x=8是函数的最大值点，此时V=f(8)=8192(cm3)即当截取的小正方形边长是8cm时，得到的容器容积最大，最大容积为8192cm3+-0极大值↗↘8例6、（产量与利润）对于企业来说，生产成本，销售收入和利润之间的关系是个重要的问题，对一家药品生产企业的研究表明，该企业的生产成本y(单位：万元)和生产收入z(单位：万元)都是产量x(单位：t)的函数

6、，分别为（1）试写出该企业获得的生产利润w(单位：万元)与产量x之间的函数关系式;（2）当产量为多少时，该企业可获得最大利润？最大利润为多少？实际应用：9（1）因为总利润=总收入-总成本所以w=z-y又因为z=18x（2）见课本68页10方法总结：处理实际应用题的步骤：1、认真审题，理清数据；2、建立数学模型，即数学关系；3、按数学问题解答；4、回归实际问题。导数主要解决的实际问题：1、几何问题2、经济问题3、物理问题11