《大值最小值问题》PPT课件

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1、2.2最大值、最小值问题1.理解函数最值的概念．2.掌握利用导数求函数最值的方法．3.掌握利用导数求最值的步骤.1.求函数在[a，b]上的最值．(重点)2.函数的极值与最值的区别与联系．(易混点)3.利用函数的单调性，图象等综合考查．(难点)1．函数极值的判定解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极小值．2．函数y＝x2＋4x＋4在[－3,4]上的最大值为，最小值为.f′(x)＞0f′(x)＜0f′(x)＜0f′(x)＞03601．函数f(x)在闭区间[a，b]上的

2、最值如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得和并且函数的最值必在或取得．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上最值的步骤(1)求函数y＝f(x)的；(2)将函数y＝f(x)的与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．最大值最小值极值端点处极值各极值端点值1．函数f(x)＝x3－3x＋1的闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是()A．－1、－1B．1、－17C．3、－17D．9、－19解析：f(x)＝3x2－3，令f(x)＝3x2－3＝0，∴x2＝1，∴x＝±1f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1

3、，∴最大值3.最小值－17.答案：C答案：B3．函数f(x)＝lnx－x在(0，e]上的最大值为________．答案：－14．已知函数f(x)＝2x3－12x.求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．x(－∞，－)－(－，)(，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大极小[解题过程](1)f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：x－3(－3，－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1,2)2f′(x)＋0－0＋0－f(x)－

4、60极大值4极小值3极大值4－51.已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37.(1)求实数a的值；(2)求f(x)在[－2,2]上的最大值．解析：(1)∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.∵f(－2)＝a－40，f(0)＝a，f(2)＝a－8，比较知f(x)的最小值是f(－2)，由已知f(－2)＝a－40＝－37，∴a＝3.(2)由a＝3知f(0)＝3，f(2)＝－5∴f(0)＝3是f(x)在[－2,2]上的最大值．故m≥2时才可能有符合条件的m，n.当m＝2时，只有n＝3符合要求．当m＝3时，只有n＝5符

5、合要求．当m≥4时，没有符合要求的n.综上所述，只有m＝2，n＝3或m＝3，n＝5满足上述要求．已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．(1)若函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，试求a，b的值；(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,6]时，f(x)＜2c恒成立，求c的取值范围．(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c，f′(x)＝3x2－6x－9，当x变化时，有下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值c＋5极小值c－27而f(－2)＝c－2，f(6)＝c＋54，∴x∈[－2,6]时，f(x)

6、的最大值为c＋54.要使f(x)＜2c恒成立，只要c＋54＜2c即可．∴c＞54.∴c的取值范围为(54，＋∞)．1．函数的极值表示函数在某一点附近的局部性质，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．2．函数的极值不一定是最值，需要将极值和区间端点的函数值进行比较，或者考查函数在区间内的单调性．3．如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．4．可导函数在极值点的导数为零，但是导数为零的点不一定是极值点．例如，函数y＝x3在x＝0处导数为零，但x＝0不是极值点．(1)抽象出实际问

7、题的数学模型，列出变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求出函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的取值大小，最大者为最大值、最小者为最小值．◎已知a∈R，f(x)＝(x2－4)(x－a)．(1)求f′(x)；(2)若f′(－1)＝0，求函数f(x)在[－2,4]上的最大值和最小值．【错因】第(2)问，求函数f(x)在[－2,4]上的最大值和最小值时，误将f(x)在[－2,4]上的极值当作了最值，再就是没有将区间端点的函数值与极值进行大小