求实系数一元三次方程根地实用公式.doc

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1、系数一元三次方程根的实用公式　   在数学书籍或数学手册中，对一元三次方程求根公式的叙述都是沿用“卡丹公式”，即：对于一元三次方程：   设，   则它的三个根的表达式如下：            其中，   我们先用该公式解一个一元三次方程：。解：Qp=-9，q=6，T=-3，D=-18，   原方程的三个根为            这样求出的三个根的表达式有两个不妥之处：   其一、当时，方程有三个实根（下文给出证明），但这里的、、表达式不明确。   其二、当时，以及（如此例中的）违背了现行中等数学

2、的表示规，也不能具体地求出其值。   因此，用“卡丹公式”解出的一元三次方程的根，往往是不实用、不直观、不严密的。   下面我们推导一个实用的改进型求根公式。   实系数一元三次方程可写为（1）令，代入（1）得（2）其中，不失一般性，我们只要讨论实系数一元三次方程的求根公式即可。不妨设p、q均不为零，令y=u+v（3）代入（2）得，（4）选择u、v，使得，即（5）代入（4）得，（6）将（5）式两边立方得，（7）联立（6）、（7）两式，得关于的方程组：，且问题归结于上述方程组的求解。即求关于t的一元二次方程的

3、两根、，设，，，又记的一个立方根为，则另两个立方根为，，其中，为1的两个立方虚根。以下分三种情形讨论：1）若，即D>0，则、均为实数，可求得，，取，，在，组成的九个数中，有且只有下面三组满足，即、；、；、，也就是满足，方程（2）的根为，，，这是方程（2）有一个实根，两个共轭虚根，，其表达式就是前面给出的“卡丹公式”的形式，这里的根式及都是在实数意义下的。2）若，即时，可求得，取同理，可求得方程（2）有三个实根，其中至少有两个相等的实根。3）若，即D<0时，Q，p<0，，则、均为虚数，求出、并用三角式表

4、示，就有，，其中T，都是实数，Q同理，其中，且取，，则显然，当且仅当取，；，；，这三组时才满足，于是方程（2）得三个实根为，，，具体表示出来就为：其中当时，方程（2）有三个实根。综上所述，实系数一元三次方程的求根公式如下：令，，，，1）当时，方程有一个实根和两个共轭虚根，2）当时，方程有三个实根，其中至少有两个相等的实根，，，3）当时，方程有三个实根，，上面提供的公式，可以求出任意实系数一元三次方程的根的具体值，是实用性的。这里用以下几个解一元三次方程的实例来说明该公式的应用。例一、解方程。解：Qp=-

5、27，q=54，D=0，原方程的根为，。例二、解方程。解：Qp=9，q=4，D=31>0，原方程有一个实根和两个共轭虚根：例三、解方程。解：Qp=-9，q=6，D=-18<0，原方程有三个实根：通过差表或计算器、计算机可计算得：这在工程技术上是极其有用的。