一元二次方程根与系数地关系

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1、实用标准12.4　一元二次方程的根与系数的关系　　中考考点　　1．理解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）。　　2．会运用根与系数的关系，由已知的一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数。　　3．会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。　　考点讲解　　1．若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2，则x1+x2=-，x1·x2=。　　2．以x1,x2为根的一元二次方程是(x-x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程ax2+bx+c=0(a≠0)。　　3．对二次项系数为1的方程x2+

2、px+q=0的两根为x1,x2时，那么x1+x2=-p，x1·x2=q。反之，以x1,x2为根的一元二次方程是：(x-x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程：x2+px+q=0。　　4．一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面：　　（1）已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可用两根和或两根积的关系求另一个根。　　（2）已知含有字母系数的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母系数的值。可用根与系数关系式，一个关系式求得另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值。　　（3）已知一元二次方程，不解方程

3、，可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。如，方程2x2-3x+1=0的两根为x1,x2，不解方程，求x12+x22的值。　　[∵x1+x2=，x1·x2=，∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=()2-2×=]　　（4）验根、求根、确定根的符号。　　（5）已知两根，求作一元二次方程（注意最后结果要化为整系数方程）。　　（6）已知两数和与积，求这两个数。　　（7）解特殊的方程或方程组。　　考题评析　　1．(北京市东城区)如果一元二次方程x2+3x-2=0的两个根为x1，x2，那么x1+x2与x1·x2的值分别

4、为（　　）　　（A）3，2　　（B）-3，-2　　（C）3，-2　　（D）-3，2　　考点：一元二次方程的根与系数关系。　　评析：由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1,x2,满足x1+x2=，x1x2=可直接计算，答案为B。精彩文档实用标准　　2．(杭州市)若是方程的两个根，则的值为（　　）　　（A）–7　　（B）1　　（C）　　（D）　　答案：A　　考点：一元二次方程根与系数的关系　　评析思路：由韦达定理知，，先求出x1+x2，x1·x2的值，然后将代数式(x1+1)(x2+1)展开，最后将x1+x2，x

5、1·x2的值代入即可。　　3．（辽宁省）下列方程中，两根分别为的是（　）　　（A）　　（B）　　（C）　　（D）　　答案：B　　考点：一元二次方程　根与系数的关系　　评析思路：因给出了二根，所以好求二根和二根积，再根据x1+x2=-px1·x2=q，即可确定正确答案为B。　　4．（辽宁省）已知α，β是方程的两个实数根，则的值为。　　考点：一元二次方程根与系数的关系　　评析思路：由根与系数的关系可知a+b=-2，a·b=-5。而所求式中有a2+2a部分，因a是方程的根，所以有a2+2a-5=0，即a2+2a=5，再加a·b，原

6、式值为0。　　答案：0　　5．（河南省）关于x的方程，是否存在负数k，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k的值；若不存在，说明理由。　　答案：解：设方程的两个实数根是x1、x2.由根与系数关系，得x1+x2=5k+1，x1x2=k2-2.精彩文档实用标准　　又∵，=4，　　∴=4.　　∴4k2-5k-9=0.　　解这个方程，得k1=-1，k2=（不合题意，舍去）.　　当k=-1时，原方程的判别式　　△=b2-4ac=[-(5k+1)]2-4(k2-2)　　　=(-4)2-4(1-2)=20>0.　　所以

7、存在满足条件的负数k，k=-1.　　考点：一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的应用。　　评析：此题是存在型的试题，一般结论都是在存在成立的条件下，按照给出的条件进行讨论，因此题是关于两个实根的关系，所以在讨论时必注意△>0。　　6．（福州市）以2，-3为两个根的一元二次方程是（　　）.　　（A）x2-x-6=0　　（B）x2+x-6=0　　（C）x2-x+6=0　　（D）x2+x+6=0　　答案：B　　考点：一元二次方程根与系数关系。　　评析：利用一元二次方程x2+px+q=0的根x1,x2与系数关系：直接计算即得答案。

8、　　7．（广州市）已知2是关于x的方程x2+3mx-10=0的一个根，则m=　　　.　　考点：一元二次方程的根与系数关系　　评析：根据方程解的概念，将未知数的值代入方程求出m，或利用根与系数的关系解方程组求出。　　答案：1　　8．（贵阳市）若x1,x2是方程x2-2x+m=0的两个根，且=