含全参数函数单调性地讨论及积分求面积.doc

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1、曲边形的面积和含参数函数单调性的讨论一积分的几何意义及其性质（1）1.定积分的几何意义：当时，积分在几何上表示由、、与轴所围成的曲边梯形的面积.当时，由、、与轴所围成的曲边梯形位于轴的下方.当时，由、、与轴所围成的曲边梯形位于轴的下方。（2）定积分的性质及其推论1.2.，（为常数）3.4.若在区间上，定积分推论：①若在区间上，②③若是偶函数，则，若是奇函数，则例利用定积分的几何意义求下列值（1）（3）练习利用定积分的几何意义求下列值（1）（2）=（3）（4）二牛顿—莱布尼茨公式（1）微积分基本定理：一般地，若注：①若则叫函数在区间上的一个原函数，根据导数定义知：也是的原函数

2、，求定积分的关键是求的原函数，可以利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求.②求导运算与求原函数的运算互为逆运算.（2）微积分基本定理与曲边形的面积问题例1已知，，，则，，的大小关系为____________.c

3、)－]dy＝(4y－－)

4、－42＝18.练习2设函数其中表示不超过的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数，在区间(0,2)上零点的个数记为，与的图象交点的个数记为，则的值是_____.[解析]　由题意可得，当0

5、　16x－8y＋1＝0[解析]　由题意知dx＝，∴a＝1，设l：y＝2x＋b代入y2＝x中，消去y得，4x2＋(4b－1)x＋b2＝0，由Δ＝0得，b＝，∴l方程为16x－8y＋1＝0.练习4已知函数的图象如图所示，它与轴在原点处相切，且轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为则的值为________．[答案]　－1[解析]　f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f′(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a<0)．S阴影＝－(－x3＋ax2)dx＝a4＝，∴a＝－1.练习5如图所示，在区间上给定曲线试在此区间确定的值，使图中阴影

6、部分的面积最小．[解析]　由题意得S1＝t·t2－x2dx＝t3，S2＝x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋，所以S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)．又S′(t)＝4t2－2t＝4t，令S′(t)＝0，得t＝或t＝0.因为当00.所以S(t)在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以，当t＝时，Smin＝.三含参数函数单调性的讨论例1已知函数讨论函数的单调性.解：因为，所以(1)当时，，当时，；当时，；所以函数在上单调递增，在上单调递减；(2)当时，的图像开口向上，I)当时，，所以函数在R上递增；II)当时，方程的两个

7、根分别为且所以函数在，上单调递增，在上单调递减；(3)当时，的图像开口向下，且方程的两个根分别为且所以函数在，上单调递减，在上单调递增。综上所述，当时，所以函数在上单调递增，在，上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；当，所以函数在，上单调递增，在上单调递减；当，函数在R上递增；例2已知函数.讨论的单调性；解：因为的定义域为所以，令，则同号①当时，由于<1，开口向下,结合其图象易知，,此时，函数单调递减；时，，此时，函数单调递增.②当时，开口向上,但是否在定义域需要讨论：因所以i)当时，由于<1，开口向上,结合其图象易知，，此时，函数单调递增.时，,此时，函数单调递减；i

8、i)当时，g(x)开口向上且，但两根大小需要讨论：a)当时，恒成立，此时，函数在上单调递减；b)当，g(x)开口向上且在（0，）有两根时，，此时，函数单调递减；时，此时，函数单调递增；时，，此时，函数单调递减；c)当时，，g(x)开口向上且在（0，）有两根时，，此时，函数单调递减；时，此时，函数单调递增；时，，此时，函数单调递减；例3设，讨论函数的单调性．解：函数的定义域为(x>0)令,则与同号（1）当时，在定义域上为增函数(2)当时,当时，g(x)开口向上，图象在x轴上方，所以所以，则在上