【全国甲卷】2020版考前三个月高考数学通用练习 知识 方法篇 专题3　函数与导数 第13练 含答案.docx

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1、第13练　必考题型——导数与单调性[题型分析·高考展望]　利用导数研究函数单调性是高考每年必考内容，多以综合题中某一问的形式考查，题目承载形式多种多样，但其实质都是通过求导判断导数符号，确定单调性.题目难度为中等偏上，一般都在最后两道压轴题上，这是二轮复习的得分点，应高度重视.体验高考1.(2015·福建)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)＞k＞1，则下列结论中一定错误的是(　　)A.f＜B.f＞C.f＜D.f＞答案　C解析　由已知条件，构造函数g(x)＝f(x)－kx，则g′(x)＝f′(x)－k＞0，故函

2、数g(x)在R上单调递增，且＞0，故g()＞g(0)，所以f()－＞－1，f()＞，所以结论中一定错误的是C，选项D无法判断；构造函数h(x)＝f(x)－x，则h′(x)＝f′(x)－1＞0，所以函数h(x)在R上单调递增，且＞0，所以h()＞h(0)，即f()－＞－1，f()＞－1，选项A，B无法判断，故选C.2.(2015·课标全国Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)A.(－∞，－1)∪(0，1)B.(－1，0)∪(1，＋∞)C

3、.(－∞，－1)∪(－1，0)D.(0，1)∪(1，＋∞)答案　A解析　记函数g(x)＝，则g(x)＝，因为当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，故当x＞0时，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，＋∞)单调递减；又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(－∞，0)单调递增，且g(－1)＝g(1)＝0.当0＜x＜1时，g(x)＞0，则f(x)＞0；当x＜－1时，g(x)＜0，则f(x)＞0.综上所述，使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A.3.(2016·浙江)设函数f(x)＝x3＋，

4、x∈[0，1].证明：(1)f(x)≥1－x＋x2；(2)＜f(x)≤.证明　(1)因为1－x＋x2－x3＝＝，由于x∈[0，1]，有≤，即1－x＋x2－x3≤，所以f(x)≥1－x＋x2.(2)由0≤x≤1得x3≤x，故f(x)＝x3＋≤x＋＝x＋－＋＝＋≤，所以f(x)≤.由(1)得f(x)≥1－x＋x2＝2＋≥，又因为f＝＞，所以f(x)＞.综上，＜f(x)≤.4.(2016·课标全国乙)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.解　(1)f′(x)＝(x－1)ex＋

5、2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a).(ⅰ)设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.(ⅱ)设a<0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a).①若a＝－，则f′(x)＝(x－1)(ex－e)，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增.②若a>－，则ln(－2a)<1，故当x∈(－∞，ln(－2a))∪(1，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(ln(－2a)，1)时，f′(x)<0.所以f(x)在(－∞，ln(－2a))，(1，＋∞)上单调

6、递增，在(ln(－2a)，1)上单调递减.③若a<－，则ln(－2a)>1，故当x∈(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)<0.所以f(x)在(－∞，1)，(ln(－2a)，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a))上单调递减.(2)(ⅰ)设a>0，则由(1)知，f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b满足b<0且b(b－2)＋a(b－1)2＝a>0，所以f(x)有两个零点.(ⅱ)设a＝0，则f(x)＝(x－2)ex

7、，所以f(x)只有一个零点.(ⅲ)设a<0，若a≥－，则由(1)知，f(x)在(1，＋∞)上单调递增.又当x≤1时，f(x)<0，故f(x)不存在两个零点；若a<－，则由(1)知，f(x)在(1，ln(－2a))单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)上单调递增.又当x≤1时f(x)<0，故f(x)不存在两个零点.综上，a的取值范围为(0，＋∞).高考必会题型题型一　利用导数求函数单调区间求函数的单调区间的“两个”方法(1)①确定函数y＝f(x)的定义域；②求导数y′＝f′(x)；③解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f′

8、(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.(2)①确定函数y＝f(x)的定义域；②求导数