【全国甲卷】2020版考前三个月高考数学通用练习 知识 方法篇 专题11　数学方法 第48练 含答案.docx

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1、第48练　整体策略与换元法[题型分析·高考展望]　整体思想是指把研究对象的某一部分(或全部)看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径.换元法又称辅助元素法、变量代换法，通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.高考必会题型题型一　整体策略例1　(1)计算(1－－－－…－)×(＋＋＋＋…＋)－(1－－－－－…－－)×(＋＋＋…＋)；(2)解方程(x2＋5x＋1)(x2＋5x＋7)＝7.解　(1)设＋＋＋…＋＝t，则原式＝

2、(1－t)(t＋)－(1－t－)t＝t＋－t2－t－t＋t2＋t＝.(2)设x2＋5x＝t，则原方程化为(t＋1)(t＋7)＝7，∴t2＋8t＝0，解得t＝0或t＝－8，当t＝0时，x2＋5x＝0，x(x＋5)＝0，x1＝0，x2＝－5；当t＝－8时，x2＋5x＝－8，x2＋5x＋8＝0，Δ＝b2－4ac＝25－4×1×8<0，此时方程无解；即原方程的解为x1＝0，x2＝－5.点评　整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个(或多个)未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决.变式训练1　计算：(1－－

3、－)×(＋＋＋)－(1－－－－)×(＋＋).解　令＋＋＝t，则原式＝(1－t)(t＋)－(1－t－)t＝t＋－t2－t－t＋t2＝.题型二　换元法例2　(1)已知函数f(x)＝4x－2xt＋t＋1在区间(0，＋∞)上的图象恒在x轴上方，则实数t的取值范围是________________.(2)已知点A是椭圆＋＝1上的一个动点，点P在线段OA的延长线上，且·＝48，则点P的横坐标的最大值为________.答案　(1)(－∞，2＋2)　(2)10解析　(1)令m＝2x(m>1)，则问题转化为函数f(m)＝m2－mt＋t＋1在区间(1，＋∞)上的图象恒在

4、x轴上方，即Δ＝t2－4(t＋1)<0或解得t<2＋2，即实数t的取值范围是(－∞，2＋2).(2)当点P的横坐标最大时，射线OA的斜率k>0，设OA：y＝kx，k>0，与椭圆＋＝1联立解得x＝，又·＝xAxP＋k2xAxP＝48，解得xP＝＝＝，令9＋25k2＝t>9，即k2＝，则xP＝＝×25＝80≤80×＝10，当且仅当t＝16，即k2＝时取等号，所以点P的横坐标的最大值为10.(3)已知函数f(x)＝ax－ln(1＋x2).①当a＝时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的极值；②证明：当x>0时，ln(1＋x2)

5、)g(0)＝0，∴ln(1＋x2)

6、ln(1＋)＋…＋ln(1＋)<1－＋－＋－＋…＋－＝1－<1，∴(1＋)(1＋)…(1＋)

7、域或范围问题，通过换元法把不熟悉、不规范、复杂的典型问题转化为熟悉、规范、简单的典型问题，起到化隐形为显性、化繁为简、化难为易的作用，以优化解题过程.变式训练2　(1)已知函数f(x)＝＋2x(x>1)，则f(x)的最小值为________.答案　2＋2解析　f(x)＝＋2(x－1)＋2，令x－1＝t，则f(t)＝＋2t＋2(t>0)，∴f(t)≥2＋2＝2＋2.当且仅当＝2t时等号成立，故f(x)的最小值为2＋2，当且仅当＝2(x－1)，即x＝＋1时等号成立.(2)已知在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an.①求Sn的表达

8、式；②设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明Tn<.①解　∵S＝an，an＝Sn－Sn－