【全国甲卷】2020版考前三个月高考数学通用练习 知识 方法篇 专题3　函数与导数 第10练 含答案.docx

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1、第10练　重应用——函数的实际应用[题型分析·高考展望]　函数的实际应用也是高考常考题型，特别是基本函数模型的应用，在选择题、填空题、解答题中都会出现，多以实际生活、常见的自然现象为背景，较新颖、灵活，解决此类问题时，应从实际问题中分析涉及的数学知识，从而抽象出基本函数模型，然后利用基本函数的性质或相应的数学方法，使问题得以解决.体验高考1.(2015·课标全国Ⅱ)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y

2、＝f(x)的图象大致为(　　)答案　B解析　由已知得，当点P沿着边BC运动，即0≤x≤时，PA＋PB＝＋tanx；当点P在CD边上运动时，即≤x≤时，PA＋PB＝＋，当x＝时，PA＋PB＝2；当点P在AD边上运动时，即≤x≤π时，PA＋PB＝－tanx.从点P的运动过程可以看出，轨迹关于直线x＝对称，且f()＞f()，且轨迹非线型，故选B.2.(2015·四川)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小

3、时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时.答案　24解析　由题意得∴e22k＝＝，∴e11k＝，∴x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝3·eb＝×192＝24.3.(2015·上海)如图，A，B，C三地有直道相通，AB＝5千米，AC＝3千米，BC＝4千米.现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f(t)(单位：千米).甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时.乙到达B地后原地等待.设t＝t1时乙到达C地.(1

4、)求t1与f(t1)的值；(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤1时，求f(t)的表达式，并判断f(t)在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由.解　(1)t1＝.记乙到C时甲所在地为D，则AD＝千米.在△ACD中，CD2＝AC2＋AD2－2AC·ADcosA，所以f(t1)＝CD＝(千米).(2)甲到达B用时1小时；乙到达C用时小时，从A到B总用时小时.当t1＝≤t≤时，f(t)＝＝；当≤t≤1时，f(t)＝5－5t，所以f(t)＝因为f(t)在上的最大值是f＝，f(t)在上的最大值是f＝，所以f(t

5、)在上的最大值是，不超过3.4.(2015·江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米.以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝(其中a，b为常数)模型.(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于P点

6、，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.解　(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5，40)，(20，2.5).将其分别代入y＝，得解得(2)①由(1)知，y＝(5≤x≤20)，则点P的坐标为，设在点P处的切线l分别交x，y轴于A，B点，y′＝－，则l的方程为y－＝－(x－t)，由此得A，B.故f(t)＝＝，t∈[5，20].②设g(t)＝t2＋，则g′(t)＝2t－.令g′(t)＝0，解得t＝10.当t∈(5，10)时，g′(t)＜0，g(t)

7、是减函数；当t∈(10，20)时，g′(t)＞0，g(t)是增函数.从而当t＝10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min＝300，此时f(t)min＝15.答　当t＝10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米.高考必会题型题型一　基本函数模型的应用例1　某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时.本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿千瓦时)与(x－0.4)(元)成反比.又当x＝0.65时，y＝0.8.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若每千

8、瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]解　(1)∵y与(x－0.4)成反比，∴设y＝(k≠0).把x＝0.65，y＝0.8代入上式，得0.8＝，k＝0.2.∴y＝＝，即y与x之间的函数关系式