【南方新课堂】2020高考新课标数学（理科）二轮专题复习检测 专题五第3讲圆锥曲线的综合问题 含解析.doc

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1、专题五解析几何第3讲圆锥曲线的综合问题一、选择题1．(2016·韶关模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则双曲线的离心率等于(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.解析：由于双曲线的一条渐近线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则双曲线的渐近线方程为y＝±3x，可得＝3，可得b2＝9a2，即c2－a2＝9a2.∴c2＝10a2，故离心率为e＝＝.答案：C2．(2016·衡水模拟)已知椭圆＋＝1内有两点A(1，3)，B(3，0)，P为椭圆上一点，则

2、PA

3、＋

4、PB

5、的最大值为(　　)A．

6、3B．4C．5D．15解析：在椭圆中，由a＝5，b＝4，得c＝3，故焦点为(－3，0)和(3，0)，点B是右焦点，记左焦点为C(－3，0)．由椭圆的定义得

7、PB

8、＋

9、PC

10、＝10，∴

11、PA

12、＋

13、PB

14、＝10＋

15、PA

16、－

17、PC

18、，∵

19、

20、PA

21、－

22、PC

23、

24、≤

25、AC

26、＝5，∴当点P，A，C三点共线时，

27、PA

28、＋

29、PB

30、取得最大值15.答案：D3．已知椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且

31、PF1

32、，

33、F1F2

34、，

35、PF2

36、成等差数列，则椭圆方程为(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：设

37、椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由点(2，)在椭圆上知＋＝1.又

38、PF1

39、，

40、F1F2

41、，

42、PF2

43、成等差数列，则

44、PF1

45、＋

46、PF2

47、＝2

48、F1F2

49、，即2a＝2·2c，＝.又c2＝a2－b2，所以综上可得a2＝8，b2＝6.答案：A4．(2016·湖南师大附中月考)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与抛物线y2＝x的一个交点的横坐标为x0，若x0>1，则双曲线C的离心率e的取值范围是(　　)A.B．(，＋∞)C．(1，)D.解析：双曲线C：－＝1的一条渐近线为y＝x，联立消去y，得x2＝x.由x0>

50、1，知<1，b2

51、AB

52、＝2b，∴S△ABF＝×2b×＝b＝≤＝2(当且仅当b2＝4－b2，即b2＝2时取等号)，故△ABF面积的最大值为2.答案：B6．在直线y＝－2上任取一点Q，过Q作抛物线x2＝4y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过的点的坐标为(　　)(导学号554601

53、37)A．(0，1)B．(0，2)C．(2，0)D．(1，0)解析：设Q(t，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为y＝x2，则y′＝x，则在点A处的切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，化简得y＝－x1x－y1，同理，在点B处的切线方程为y＝－x2x－y2，又点Q(t，－2)的坐标适合这两个方程，代入得－2＝－x1t－y1，－2＝－x2t－y2，这说明A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程－2＝－xt－y，即直线AB的方程为y－2＝－tx，因此直线AB恒过点(0，2)．答案：B二、填空题7．已知

54、直线l过椭圆8x2＋9y2＝72的一个焦点，斜率为2，l与椭圆相交于M、N两点，则弦

55、MN

56、的长为________．解析：由得11x2－18x－9＝0.由根与系数的关系，得xM＋xN＝，xM·xN＝－.由弦长公式

57、MN

58、＝

59、xM－xN

60、＝×＝＝.答案：8．(2016·山东卷)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2

61、AB

62、＝3

63、BC

64、，则E的离心率是________．解析：由已知得

65、AB

66、＝

67、CD

68、＝，

69、BC

70、＝

71、AD

72、＝

73、F1F2

74、＝2c.∵2

75、AB

76、＝3

77、

78、BC

79、，∴＝6c，2b2＝3ac.∴＝，则2(e2－1)＝3e.又e>1，解得e＝2.答案：29．(2016·安徽安庆二模)已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为1，过点F的直线与圆Q切于点P，则·的最小值为________．解析：如图，·＝

80、

81、2＝

82、

83、2－1.由抛物线的定义知：

84、

85、＝d(d为点Q到准线的距离)，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，∴

86、

87、min＝2，∴·的最小值为3.答案：3三、解答题10．(2016·珠海调研)如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)，经过点A(0，－1)，且离心率为.

88、(导学号55460138)(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．(1)解：由题设知＝，b＝1，结合a2＝b2＋c2，解得a＝，∴椭圆的方程为＋y2＝1.(2)证明：由题设知，直线PQ的方程为y＝k(