【南方新课堂】2020高考新课标数学（理科）二轮专题复习检测 专题七第2讲不等式选讲 含解析.doc

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1、专题七选修4系列第2讲不等式选讲1．(2014·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝＋

2、x－a

3、(a>0)．(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)<5，求a的取值范围．(1)证明：由a>0，有f(x)＝＋

4、x－a

5、≥＝＋a≥2.当且仅当“＝a，即a＝1时”取等号，∴f(x)≥2.(2)解：f(3)＝＋

6、3－a

7、.当a>3时，f(3)＝a＋，由f(3)<5，得3

8、x－3

9、，k∈R，且f(x＋3)≥0

10、的解集为－1，1]．(导学号55460156)(1)求k的值；(2)若a，b，c是正实数，且＋＋＝1.求证：a＋2b＋3c≥9.(1)解：∵f(x)＝k－

11、x－3

12、，∴f(x＋3)≥0等价于

13、x

14、≤k，由

15、x

16、≤k有解，得k≥0，且解集为－k，k]．∵f(x＋3)≥0的解集为－1，1]．因此k＝1.(2)证明：由(1)知＋＋＝1，∵a，b，c为正实数．∴a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝2b＝3c时，等号成立．因此a＋2b＋3c≥9.3．已知函数f(x)＝

17、x＋a

18、

19、＋

20、x－2

21、.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤

22、x－4

23、的解集包含1，2]，求a的取值范围．解：(1)当a＝－3时，不等式f(x)≥3化为

24、x－3

25、＋

26、x－2

27、≥3.①若x≤2时，由①式，得5－2x≥3，∴x≤1.若2

28、x≥4或x≤1}．(2)原不等式等价于

29、x－4

30、－

31、x－2

32、≥

33、x＋a

34、，②当1≤x≤2时，②式化为4－x－(2－x)≥

35、x＋a

36、，解之得－2－a≤

37、x≤2－a.由条件，1，2]是f(x)≤

38、x－4

39、的解集的子集，∴－2－a≤1且2≤2－a，则－3≤a≤0.故满足条件的实数a的取值范围是－3，0]．4．(2016·长郡模拟)已知正实数a，b满足：a2＋b2＝2.(导学号55460157)(1)求＋的最小值m；(2)设函数f(x)＝

40、x－t

41、＋(t≠0)，对于(1)中求得的实数m是否存在实数x，使得f(x)＝成立，说明理由．解：(1)∵2＝a2＋b2≥2ab，∴≥ab(a>0，b>0)，则≤1，又＋≥≥2，当且仅当a＝b时取等号，∴＋的最小值m＝2.(2)函

42、数f(x)＝

43、x－t

44、＋≥＝＝

45、t

46、＋≥2，对于(1)中的m＝2，＝1<2.∴满足条件的实数x不存在．5．(2016·石家庄质检)已知函数f(x)＝

47、x

48、＋

49、x－1

50、.(导学号55460158)(1)若f(x)≥

51、m－1

52、恒成立，求实数m的最大值M；(2)在(1)成立的条件下，正实数a，b满足a2＋b2＝M，证明：a＋b≥2ab.(1)解：∵f(x)＝

53、x

54、＋

55、x－1

56、≥

57、x－(x－1)

58、＝1，当且仅当0≤x≤1时，取等号，∴f(x)＝

59、x

60、＋

61、x－1

62、的最小值为1.要使f(x)≥

63、m－1

64、恒成立，只需

65、m－

66、1

67、≤1，∴0≤m≤2，则m的最大值M＝2.(2)证明：由(1)知，a2＋b2＝2，由a2＋b2≥2ab，知ab≤1，①又a＋b≥2，则(a＋b)≤2ab，由①知，≤1，故a＋b≥2ab.6．(2016·广州调研)已知函数f(x)＝

68、x＋1

69、.(导学号55460159)(1)求不等式f(x)<

70、2x＋1

71、－1的解集M；(2)设a，b∈M，证明：f(ab)>f(a)－f(－b)．(1)解：①当x≤－1时，原不等式可化为－x－1<－2x－2，解得x<－1；②当－1

72、x<－1，此时原不等式无解；③当x≥－时，原不等式可化为x＋1<2x，解得x>1.综上，M＝{x

73、x<－1或x>1}．(2)证明：∵f(a)－f(－b)＝

74、a＋1

75、－

76、－b＋1

77、≤

78、a＋1－(－b＋1)

79、＝

80、a＋b

81、，∴要证f(ab)>f(a)－f(－b)，只需证

82、ab＋1

83、>

84、a＋b

85、，即证

86、ab＋1

87、2>

88、a＋b

89、2，即证a2b2＋2ab＋1>a2＋2ab＋b2，即证a2b2－a2－b2＋1>0，即证(a2－1)(b2－1)>0.∵a，b∈M，∴a2>1，b2>1.∴(a2－1)(b2－1)>0成立，∴原

90、不等式成立．