命题逻辑习题.doc

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1、数理逻辑习题命题逻辑（一）1.指出下列语句中哪些是命题a)离散数学的研究对象是自然数。b)请勿喧哗。c)夸夸其谈可以创造财富。d)“飞碟”来自于银河系之外。e)今天很冷。f)你明天还来吗？[解]a)是命题。因为它是假的陈述句。b)不是命题。因为它是祈使句。c)是命题。因为它是假的陈述句。d)是命题。因为它是可确定真假的陈述句，虽然其真假性现时还无法确定，但随着人类认识的发展终将得到证实。e)是命题。因为它是可确定真假的陈述句，其真假取决于说话人的主观判断和外部环境的客观温度。f)不是命题。因为它是疑问句。2.用符号形式写下面命题，其中P表示命题“明

2、天下雪”；Q表示命题“我们明天上课”；R表示命题“我们明天上公园”。a)如果明天下雪且我们停课，那么我们去公园。b)只有明天不下雪，我们才去公园。c)除非明天不下雪且我们上公园，否则我们将上课。d)无论明天下雪与否，我们照常上课。[解]a)PÙØQ→R；b)ØØP→ØR（或R→ØP）；c)Ø(ØPÙR)«ØQ（或ØPÙR«ØQ）；d)PÚØP→Q（或Q）。3.用上题的命题P，Q，R解释下面的形式命题。a)ØPÚQ→ØRb)PÙRc)ØP→QÚRd)ØQ«R[解]a)只有明天下雪且不上课，我们才去公园；b)明天下雪，明天我们去公园；c)如果明天不下雪

3、，那么我们上课或去公园；d)除非明天不停课(上课)，否则我们去公园。4.将下述命题符号化a)不是小王就是老李来找过你。b)尽管小张与小赵是同学，但他们很少在一起。c)如果程序能正常结束，那么就不会有语法错误。d)既然你今天不去开会，就该在家好好休息一下。e)只有博览群书，知识才能丰富。f)只要懂得法律，就能够成为一名律师。g)学好数、理、化，走扁天下都不怕。h)并非由于学校是重点，毕业生才是一流的，而是由于毕业生是一流的，学校才能成为重点。i)他能考上交大，除了由于他有一个较好的环境之外，还在于他平时的刻苦精神。[解]a)令：P：小王来找过你Q：老

4、李来找过你形式化公式：PÚQ（实际上是不可兼或：PQ）；b)令：P：小张与小赵是同学Q：小张与赵在一起。形式化公式：PÙØQ；c)令：P：程序正常结束Q：程序有语法错误形式化公式：P→ØQ；d)令：P：你今天去开会Q：你在家休息一下。形式化公式：ØPÙQ；e)令：P：(某人)博览群书Q：(某人)知识丰富形式化公式：ØP→ØQ（或者Q→P）；f)令：P：(某人)懂得法津Q：(某人)成为一名律师形式化公式：P→Q；g)令：P：(某人)学好数学Q：(某人)学好物理R：(某人)学好化学S：(某人)走遍天下都不怕形式化公式：PÙQÙR→S；h)令：P：学校是

5、重点Q：毕业是一流的形式化公式：Ø(P→Q)Ù(Q→P)；i)令：P：他考上了交大Q：他有一个较好的环境R：他平时刻苦形式化公式：QÙR→P。5.试通过对命题公式中联结词的个数归纳，证明命题公式在任一指派下的真假值都是唯一的。[证](采用串值数学归纳法)为证命题公式在任一赋值υ下的真值是唯一的，我们对公式中所含联结词的个数n进行串值归纳：1）若n＝0，则α＝P是一原子公式，从而α(υ)＝P(υ)显然是唯一的。2）假设n＝0，1，2，…，k时，任何含有n个联结词的公式α′在υ下的真值α′(υ)是唯一的。3）于是，当n＝k+1时，则根据合式公式的形成规

6、则，可知＝Øα1，或者α＝α1*α2（这里*＝Ù或Ú或→或«）。我们设1和2中的联结词个数分别为k1和k2，那么a)当α＝Øα1时，则有k1+1＝k+1，从而k1＝k0于是由归纳假设可知，真值是唯一的，所以由Ø的真值表知真值α(υ)＝Ø(α1(υ))是唯一的；b)当α＝α1*α2时，则有k1+k2+1＝k+1，从而k1+k2＝k，即有k1£k，k2£k。于是由归纳假设知，真值α1(υ)，α2(υ)是唯一的，所以由*的真值表（Ù，Ú，→，«的真值表）知真值α(υ)＝α1(υ)*α2(υ)都是唯一的。这就用串值归纳法证明了命题公式α在任一赋值υ下的真值

7、（真假值）都是唯一的。6.令P，Q，R，S分别取值为T，F，T，F。求出下列命题公式在相应指派下的真假值。a)ØPÚ(Q→PÙR)b)QÚP→(QÙS«R)c)(P→Q)Ù(R→QÙS)d)PÚ(Q→RÙØS)«QÚØP[解]这里赋值υ＝（T，F，T，F）a)(ØPÚ(Q→PÙR))(υ)＝ØP°Ú(Q°→P°ÙR°)＝ØTÚ(F→TÙT)＝FÚ(F→T)＝FÚT＝Tb)(QÚP→(QÙS«R))(υ)＝Q°ÚP°→(Q°ÙS°«R°)＝FÚT→(FÙF«T)＝T→(F«T)＝T→F＝Fc)((P→Q)Ù(R→QÙS))(υ)＝(P°→Q°)Ù(R

8、°→Q°ÙS°))＝(T→F)Ù(T→FÙF)＝FÙ(T→F)＝FÙF＝Fd)(PÚ(Q→RÙØS)«QÚØP)(υ)＝(