光电信息物理基础第二章习题答案.pdf

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1、h3h3h3h2.1已知某一区域中给定瞬间的电流密度J=C(xe+ye+ze)，其中C是xyz大于零的常量，求：在此瞬间，点（1，-1，2）处电荷密度的时间变化率；h∂ρ解：由电流连续性方程∇⋅J+＝0P26（2.2-8）∂t所以电荷密度的时间变化率为：∂J333∂ρh∂Jxy∂Jz∂(Cx)∂(Cy)∂(Cz)222=−∇⋅J=−−−=−−−=−(3x+3y+3z)∂t∂x∂y∂z∂x∂y∂z在点（1，-1，2）处的电荷密度的时间变化率为-18C。2.2设在某静电场域中任意点的电场强度均平行于x轴。hh证明：（1）E与坐标y，z无关；（2）若此区域中没有电荷，则E与坐标x无关。证明

2、：（1）因为任意点的电场强度均平行于x轴，这说明电场强度的振动方向沿x方hhh向，电场强度E的表达式可写为E=eE(x,y,z)xx又因为是静电场，为有源无旋场，所以该电场强度的旋度为零。即ddddddeeeeeexyzxyzh∂∂∂∂∂∂d∂Exd∂Ex∇×E===e−e=0yz∂x∂y∂z∂x∂y∂z∂z∂yEEEE00xyzx∂E∂Ehxx所以=0并且=0，这就说明分量Ex与坐标y，z无关，即电场强度E与∂z∂y坐标y，z无关（2）因为此区域没有电荷，这说明此区域没有电场的源，ρ=0，电场的散度也h∂E∂E∂E∂Ehxyzx为零，即∇⋅E=++==0，所以E与坐标x无关。∂x∂

3、y∂z∂x2.5从微分形式麦克斯韦方程组导出电流连续性方程解：微分形式的麦克斯韦方程组d⎧dd∂D⎪∇×H=J+∂t⎪dd⎪d∂Bdd∂D⎨∇×E=−，其中和电流有关的是第一个全电流方程∇×H=J+∂t∂t⎪d⎪∇⋅B=0⎪d⎩∇⋅D=ρdd⎛d∂D⎞因为矢量的旋度的散度恒为零，即∇⋅(∇×H)≡0，所以∇⋅⎜J+⎟=0⎜⎝∂t⎟⎠ddd∂Dd∂(∇⋅D)∂即∇⋅J+∇⋅=∇⋅J+（因为∇是对空间坐标求导，是对时间求导，∂t∂t∂t二者相互独立，可以互换）dd∂(∇⋅D)d∂ρ也就是说∇⋅J+=∇⋅J+=0，即电流连续性方程。得证。∂t∂t2.6试证明通过电容器的位移电流等于导线中的

4、传导电流dJd证明：假设平行电容器之间的介质的介电常数为ε，电容器的面积为S，电容器间距为d。根据图示可知，位移电流Id与传导电流If方向相同hhh∂D∂EU根据定义位移电流密度为：J==ε；因为电场强度E=，所以d∂t∂tdε∂UεS∂U∂U∂(CU)∂QJ=。位移电流I=JS==C===Idddfd∂td∂t∂t∂t∂tεSQ其中电容器的电容C==dUhhhh2.7线性各向均匀介质中某点的极化强度P=18e−30e+5e，D=20.5，求xyzzhh这点的E和DhhhhD1h解：极化强度P=εχE=ε(ε−1)E=ε(ε−1)=(1−)D00r0rεεε0rr⎛1⎞1114.1所

5、以P=⎜1−⎟D，ε====z⎜⎟zrP513.1⎝εr⎠z1−1−1−D20.54.1z所以电位移矢量⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟Dh=⎜1⎟Ph=⎛⎜εr⎞⎟Ph=⎛⎜1+1⎞⎟Ph=⎜1+1⎟Ph=4.1Ph=73.8eh−123eh+20.5eh⎜1⎟⎜ε−1⎟⎜ε−1⎟4.1xyz⎜1−⎟⎝r⎠⎝r⎠⎜⎜−1⎟⎟ε⎝3.1⎠⎝r⎠hhDhhh12电场强度E==()6.3e−10.5e+1.75e×10xyzεε0r2.9有一个内、外半径分别为a和b，介质常数为ε的介质球壳，其中有密度为ρ的均匀电荷，求任一点的电位移矢量及球壳内的极化电荷密度。解：由球对称性可知，电位移矢量的方向沿着球的

6、半径方向，大小随着半径rhh的变化而变化。根据积分形式的麦克斯韦定理D⋅dS=Q=ρdV∫Sf∫v分段考虑：（1）若0b，由于电荷均匀分布，则Q=ρ()b−a，D*4πr=Q，所以34π()33ρb−a()33Q3ρb−aD===2224πr4πr3rh（4）球壳内的极化电荷密度满足ρ=−∇⋅P（P242.1-23）phh根据极化强度P和电位移矢量D之间的关系hhhhh即P=εχE

7、=ε(ε−1)E（P252.1-31）；D=εεE（P252.1-32）00r0rhhhD⎛1⎞hP=ε(ε−1)E=ε(ε−1)=⎜1−⎟D0r0r⎜⎟εεε0r⎝r⎠所以球壳内的极化电荷密度为h⎡⎛1⎞h⎤⎛1⎞h⎛1⎞⎛ε0⎞ρp=−∇⋅P=−∇⋅⎢⎜⎜1−⎟⎟D⎥=⎜⎜−1⎟⎟*∇⋅D=⎜⎜−1⎟⎟*ρ=⎜−1⎟*ρ⎣⎝εr⎠⎦⎝εr⎠⎝εr⎠⎝ε⎠