信息安全数学基础习题答案.pdf

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1、信息安全数学基础习题答案第一章整数的可除性1.证明:因为2

2、n所以n=2k,kZÎ5

3、n所以5

4、2k,又(5,2)=1,所以5

5、k即k=5k1,k1ÎZ7

6、n所以7

7、2*5k1,又(7,10)=1,所以7

8、k1即k1=7k2,k2ÎZ所以n=2*5*7k2即n=70k2,k2ÎZ因此70

9、n2.证明:因为a3-a=(a-1)a(a+1)当a=3k,kZÎ3

10、a则3

11、a3-a当a=3k-1,kÎZ3

12、a+1则3

13、a3-a当a=3k+1,kÎZ3

14、a-1则3

15、a3-a所以a3-a能被3整除。3.证明:任意奇整数可表示为2k0+1,k0ÎZ(2k0+1)2=4k02+4k0+1=4k0(k

16、0+1)+1由于k0与k0+1为两连续整数,必有一个为偶数,所以k0(k0+1)=2k所以(2k0+1)2=8k+1得证。4.证明:设三个连续整数为a-1,a,a+1则(a-1)a(a+1)=a3-a由第二题结论3

17、(a3-a)即3

18、(a-1)a(a+1)又三个连续整数中必有至少一个为偶数,则2

19、(a-1)a(a+1)又(3,2)=1所以6

20、(a-1)a(a+1)得证。5.证明:构造下列k个连续正整数列:(k+1)!+2,(k+1)!+3,(k+1)!+4,……,(k+1)!+(k+1),kZÎ对数列中任一数(k+1)!+i=i[(k+1)k…(i+1)(i-1)…2*1+1],i=

21、2,3,4,…(k+1)所以i

22、(k+1)!+i即(k+1)!+i为合数所以此k个连续正整数都是合数。6.证明:因为1911/2<14,小于14的素数有2,3,5,7,11,13经验算都不能整除191所以191为素数。因为5471/2<24,小于24的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23经验算都不能整除547所以547为素数。由737=11*67,747=3*249知737与747都为合数。8.解:存在。eg:a=6,b=2,c=910.证明:p1p2p3

23、n,则n=p1p2p3k,kNÎ+又p1≤p2≤p3,所以n=p1p2p3k≥p13即p13≤n1/3p1为素数则

24、p1≥2,又p1≤p2≤p3,所以n=p1p2p3k≥2p2p3≥2p22即p2≤(n/2)1/2得证。11.解:小于等于5001/2的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,依次删除这些素数的倍数可得所求素数:12.证明:反证法假设3k+1没有相同形式的素因数,则它一定只能表示成若干形如3k-1的素数相乘。(3k1+1)(3k2+1)=[(3k1+1)k2+k1]*3+1显然若干个3k+1的素数相乘,得1到的还是3k+1的形式,不能得出3k-1的数,因此假设不成立,结论得证。同理可证其他。13.证明:反证法假设形如4k+3的素数只有有限个,记为p1,p2,…,pn因为4k

25、+3=4k`-1=4k-1构造N=4*p1*p2*…*pn-1≥3*p1*p2*…*pn所以N>pi(i=1,2,…,n)N为4k-1形式的素数,即为4k+3的形式,所以假设不成立。原结论正确,形如4k+3的素数有无穷多个。28.(1)解:85=1*55+3055=1*30+2530=1*25+525=5*5所以(55,85)=5(2)解:282=1*202+80202=2*80+4280=1*42+3842=1*38+438=9*4+24=2*2所以(202,282)=229.(1)解:2t+1=1*(2t-1)+22t-1=(t-1)*2+12=2*1所以(2t+1,2t-1)=

26、1(2)解:2(n+1)=1*2n+22n=n*2所以(2n,2(n+1))=232.(1)解:1=3-1*2=3-1*(38-12*3)=-38+13*(41-1*38)=13*41-14*(161-3*41)=-14*161+55*(363-2*161)=55*363+(-124)*(1613-4*363)=(-124)*1613+551*(3589-2*1613)=551*3589+(-1226)*1613所以s=-1226t=551(2)解:1=4-1*3=4-1*(115-28*4)=-115+29*(119-1*115)=29*119+(-30)*(353-2*119)=

27、-30*353+89*(472-1*353)=89*472+(-119)*(825-1*472)=(-119)*825+208*(2947-3*825)=208*2947+(-743)*(3772-1*2947)2=951*2947+(-743)*3772所以s=951t=-74336.证明:因为(a,4)=2所以a=2*(2m+1)mZÎ所以a+b=4m+2+4n+2=4(m+n)+4=4(m+n+1)即4

28、a+b所以(a+b,4)=437.证明:反证法

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