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1、窗函数本文对数字信号处理过程中用到的有关窗函数进行了说明�这些窗函数主要有�矩形窗函数、三角窗函数、汉宁窗函数、海明窗函数、布莱克曼窗函数和凯塞窗函数等。1窗函数基本概念在实际进行数字信号处理时�往往需要把信号的观察时间限制在一定的时间间隔内�只需要选择一段时间信号对其进行分析。这样�取用有限个数据�即将信号数据截断的过程�就等于将信号进行加窗函数操作。而这样操作以后�常常会发生频谱分量从其正常频谱扩展开来的现象�即所谓的“频谱泄漏”。当进行离散傅立叶变换时�时域中的截断是必需的�因此泄漏效应也是离散傅立叶变换所固有的�必须进行抑制。而要对频谱泄漏进行抑制�可以通
2、过窗函数加权抑制DFT的等效滤波器的振幅特性的副瓣�或用窗函数加权使有限长度的输入信号周期延拓后在边界上尽量减少不连续程度的方法实现。而在后面的FIR滤波器的设计中�为获得有限长单位取样响应�需要用窗函数截断无限长单位取样响应序列。另外�在功率谱估计中也要遇到窗函数加权问题。由此可见�窗函数加权技术在数字信号处理中的重要地位。下面介绍窗函数的基本概念。设x(n)是一个长序列�w(n)是长度为N的窗函数�用w(n)截断x(n)�得到N点序列xn(n)�即xn(n)=x(n)w(n)在频域上则有1π��X�ej����X�ej���W�ej����d�N2π�π由此可
3、见�窗函数w(n)不仅仅会影响原信号x(n)在时域上的波形�而且也会影响到频域内的形状。表1MATLAB窗函数窗窗函数矩形窗Boxcar三角窗Triang布莱克曼窗Blackman海明窗Hamming汉宁窗Hanning凯塞窗Kaiser2窗函数下面就对这些窗函数展开介绍。2.1矩形窗函数矩形窗(RectangularWindow)函数的时域形式可以表示为��1,0�n�N�1w(n)�RN(n)���0,其他它的频率响应为��N��N�1�sin���j���2�j���2���We�eR���sin���2�矩形窗函数的主瓣宽度为4π�第一副瓣比主瓣低13dB
4、。N调用方式w=boxcar(n)�输入参数n是窗函数的长度�输出参数w是由窗函数的值组成的n阶向量。从功能上讲�该函数又等价于w=ones(n,1)。例�生成一个长度为50的矩形窗�并观察其频率特性(使用归一化的幅值和频率)�结果如下�n=50;window=boxcar(n);[h,w]=freqz(window,1);subplot(2,1,1)stem(window);subplot(2,1,2);plot(w/pi,20*log(abs(h)/abs(h(1))));矩形窗及其频谱特。2.2三角窗函数j�三角窗是最简单的频谱函数W(e)为非负的一种窗函数
5、。三角窗函数的时域形式可以表示为�当n为奇数时�2kn�1,1�k��n�12w(k)��2(n�k�1)n�1�,�k�n�n�12当n为偶数时�2k�1n,1�k��n2w(k)��2(n�k�1)n�,�k�n�n2它的频率响应为�2����N�1����N�1��sin����j���24�j���2�����We�eR��N�1����sin�����2��8π三角窗函数的主瓣宽度为N�比矩形窗函数的主瓣宽度增加了一倍�但是它的旁瓣宽度却小得多。调用方式w=triang(n)�输入参数n是窗函数的长度�输出参数w是由窗函数的值组成的n阶向量。三角窗也是两
6、个矩形窗的卷积。三角窗函数的首尾两个数值通常是不为零的。当n是偶数时�三角窗的傅立叶变换总是非负数。例�生成一个长度为50的三角窗�并观察其频率特性(使用归一化的幅值和频率)�结果如下图所示。程序n=31;window=triang(n);[h,w]=freqz(window,1);subplot(1,2,1);stem(window);subplot(1,2,2);plot(w/pi,20*log(abs(h)/abs(h(1))));三角形窗及其频谱特性2.3汉宁窗函数汉宁窗函数的时域形式可以表示为���k��w(k)�0.5��1�cos�2π���k�1,
7、2,�,N��n�1��它的频域特性为��N�1����2π��2π����j��������2�W���0.5WR��0.25�WR�����WR������e���N�1��N�1���其中�WR(�)为矩形窗函数的幅度频率特性函数。汉宁窗函数的最大旁瓣值比主瓣值低31dB�但是主瓣宽度比矩形窗函数的主瓣宽度增加了1倍�为8π/N。调用方式(1)w=hanning(n)�输入参数n是窗函数的长度�输出参数w是由窗函数的值组成的n阶向量。(2)w=hanning(n,'symmetric')�与上面相类似。(3)w=hanning(n,'periodic')�此
8、函数返回包
