猎狗追击兔子问题

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1、猎狗追兔子问题开始跑!题目：狗追兔子问题yxhy=f(x)B(0,60)A(100,0)O现有一只兔子，一只猎狗，兔子位于猎狗的正西100米处。假设兔子与猎狗同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而猎狗在追兔子，已知兔子、猎狗是匀速跑且猎狗的速度是兔子的两倍。问题是兔子能否安全逃回到巢穴？问题分析：由题意得，这是一道数学追击问题。模型：假设兔子沿直线逃回巢穴，而猎狗始终追击方向始终朝向兔子。即猎狗追击路线为一条曲线。yxy=f(x)B(0,60)巢穴A(100,0)O兔子起始位置兔子逃跑路线猎狗追击路线猎狗起始位置yxy=f(x)B(0,60)巢穴A(100,0)O兔子

2、起始位置(0,y1)E(X1,Y1)CD(X2,Y2)(0,y2)FAt1At2如图所示，f(x)上每一点的切线为此时刻兔子与猎狗位置的连线。这样就可以得到f(x)上每一点的斜率，即:f’(xt)=tanAt;又由题可知：y0=f(x0)=100;y0=f(x0)=100dy/dx=tanAt这样就可以求得一条与f(x)近似的折线(就是常微分方程中学得欧拉折线)，当时间步长△t取得足够小时，可以认为这条折线就是f(x).yxy=f(x)B(0,60)巢穴A(100,0)O兔子起始位置At(Xt,Yt)(0,yt)猎狗追击路线：y=f(x),速度:2v,t时刻位置为(Xt,Yt);兔子

3、逃跑路线：x=0,速度:v,t时刻位置为(0,yt);由模型得：猎狗t时刻追击方向与水平方向的夹角At满足：tanAt=(Yt-yt)/(Xt-0);cosAt=-Xt/sqrt(Xt2+(Yt-yt)2);sinAt=(yt-Yt)/Xt/sqrt(Xt2+(Yt-yt)2)设时间步长为△t，则在t+△t时，狗的位置，可表示为：Xt+1=Xt-(2*v*△t)*cosAt;Yt+1=Yt+(2*v*△t)*sinAt;yt=yt+v*△t;y0=0;Y0=0;X0=100;显然，当猎狗追上兔子时Xt=0；此时在比较Yt与B点的纵坐标大小，若Yt大于60则追不上，若Yt小于或等于60

4、则能追上。#include#includevoidmain(){doubleY[10000],X[10000],y[10000],T=0.01,v=10,sinA,cosA;//T为时间步长取：0.01y[0]=0;Y[0]=0;X[0]=100;//X[i],y[i],Y[i]表示i时刻的坐标点for(inti=0;;i++){sinA=(y[i]-Y[i])/sqrt(X[i]*X[i]+(y[i]-Y[i])*(y[i]-Y[i]));cosA=X[i]/sqrt(X[i]*X[i]+(y[i]-Y[i])*(y[i]-Y[i]));X[i+1

5、]=X[i]-2*v*T*cosA;Y[i+1]=Y[i]+2*v*T*sinA;y[i+1]=y[i]+v*T;if(X[i+1]<=0)//X[i]第一次小于或等于0时追到兔子，根据此时Y[i]是否大于60判断猎狗能否在兔子到达巢穴之前追到它{if(Y[i+1]<=60)printf(“猎狗在%f米时能够追上兔子！",Y[i+1]);elseprintf(“猎狗在兔子回巢穴前不能追上兔子！");break;}}}运行结果大概为在66.699946米时，猎狗能追上兔子。（取兔子实际速度约为10m/s）functionsequient(m,n)Y=zeros(m,n);y=zer

6、os(m,n);X=zeros(m,n);x=zeros(m,n);v=10;A=1;B=0;T=0.01;Y(m,1)=0;y(m,1)=0;X(m,1)=100;fori=1:(n-1)A=X(m,i)./sqrt(X(m,i).^2+(Y(m,i)-y(m,i)).^2);B=(y(m,i)-Y(m,i))./sqrt(X(m,i).^2+(Y(m,i)-y(m,i)).^2);X(m,i+1)=X(m,i)-2*v*T*A;Y(m,i+1)=Y(m,i)+2*v*T*B;y(m,i+1)=y(m,i)+v*T;if(X(m,i+1)

7、reak;endendplot(X,Y,'r')holdonplot(x,y,'b');holdofflegend('ÁÔ¹·×·»÷·Ïß','ÍÃ×ÓÌÓÅÜ·Ïß');k=find(X<0);text(X(k),Y(k),'O','Color','magenta');text(X(k),Y(k),'ÁÔ¹·×·µ½ÍÃ×ӵĵã');Yt=Y(k)gridon;boxon;axisequal结果是：兔子回巢，猎狗扫兴而归。。。