猎狗追兔子问题.doc

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1、一．实验问题1.有一只猎狗在B点位置发现了一只兔子在正东北方距离它200米的地方O处，此时兔子开始以8米/秒的速度向正西北方距离为120米的洞口A全速跑去，假设猎狗在追赶兔子的时候始终朝着兔子的方向全速奔跑，用计算机仿真法等多种方法完成下面的实验：(1)问猎狗能追上兔子的最小速度是多少？(2)在猎狗能追上兔子的情况下，猎狗跑过的路程是多少？(3)画出猎狗追赶兔子奔跑的曲线图。(4)假设在追赶过程中，当猎狗与兔子之间的距离为30米时，兔子由于害怕,奔跑的速度每秒减半，而猎狗却由于兴奋奔跑的速度每秒增加0.1倍，在这种

2、情况下，再按前面的（1）—（3）完成实验任务。二．问题的分析涉及Matlab的知识：If-and循环，while-and循环，绘图。数学建模与求解的方法：1．兔子的起始位置是O（0,0）,狗的初始位置是B（-100，-100）。兔子沿OA直线跑动，OA的方程是y=-x，兔子的速度是8米每秒，所以任意时刻t,兔子的位置是=（-4，4）,狗以匀速追赶兔子，速度大小不变，方向时刻指向兔子。设任意时刻t，狗的位置是,兔子的位置是，则有题意可知:cosα=,sinα=，设狗的速度大小为v，在t+dt时，兔子的位置变为（-（t

3、+dt）,*(t+dt)）,狗的位置的横坐标x′=x+v*cosα*dt,纵坐标y′=y+v*sinα*dt.狗和兔子之间的距离，,当=0时，狗追到兔子，但如果在=0之前，兔子到达A点，即兔子跑进了洞穴，则狗追不到兔子，兔子跑进洞穴所需时间为t=120/8=15秒，所以狗以最小速度追赶兔子时，在洞口初，恰好追到兔子。在运算时，可以任意给狗一速度v,在此速度下，狗能否在洞口处恰好追到兔子，如果在到达洞口之前就追到了，则取比v小的一速度，在进行运算。如兔子进入洞穴时仍未追上，则在取一比v大的速度进行运算，直到取到一速度

4、使狗在洞口处追到了兔子。2．当狗与兔子的距离大于30时，运算过程与1相同，当距离小于30时，兔子的速度每秒减半，而狗的速度每秒增加0.1倍，取间隔dt，当二者距离小于30时，兔子的速度为v=8/(2^dt),狗的速度v=v*1.1^dt,由此可以写出任意时刻t，兔子和狗的位置坐标。其他过程与1相同。三．程序设计根据以上，编写程序如下：三．问题求解结果与结论其中直线为兔子的运动轨迹，曲线为狗的轨迹。由于二者在相距30米时，才开始变速，所以两图的差别不十分明显。在Matlab运行后，得结果，狗的最小速度为v=17.08

5、1,跑过的路程为s=256.1548;当狗和兔子的速度发生变化时，狗的最小速度v=15.5872,跑过路程s=253.2291.三．实验总结与体会实验过程比较繁琐，一开始并没有找到适合的运行程序方法，经过仔细的分析探讨研究，类比缉私艇追击走私船的三种解决方法，逐渐摸索出一套较为可行的方案。通过亲身体验，体会到了数学实验在解决现实问题时的方便快捷，精确无误。