华中科技大学数理方程课件――第二章分离变量法.ppt

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1、第二章分离变量法一、有界弦的自由振动二、有限长杆上的热传导三、拉普拉斯方程的定解问题四、非齐次方程的解法五、非齐次边界条件的处理六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等特点：a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证；b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。一、有界弦的自由振动令代入方程：令代入边界条件1、求

2、两端固定的弦自由振动的规律特征（固有）值问题：含有待定常数的常微分方程在一定条件下求非零解的问题特征（固有）值：使方程有非零解的常数值特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解分情况讨论：1）2）3）令，为非零实数▪分离变量▪求特征值和特征函数▪求另一个函数▪求通解▪确定常数分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。2解的性质x=x0时：其中：驻波法t=t0时：例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为，求弦作微小横向振动时的位移。解：于是得到一系列分离变量形式的特解这些

3、特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为解：例2求下列定解问题初始条件例3求下列定解问题解：由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为于是得到一系列分离变量形式的特解这些特故原问题的解为例4求下列定解问题令代入方程：解：于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为二有限长杆上的热传导令带

4、入方程：解：由例4知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为满足方程于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为令代入方程：令例5求下列定解问题解：由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为例6求下列定解问题解：令于是得到一系列分离变量形式的特解若则u为多少？为什么会出现这样的现象？思考这些特解满

5、足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为若分离变量流程图三拉普拉斯方程的定解问题1直角坐标系下的拉普拉斯问题解：由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为例7求下列定解问题解：由例6中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，

6、设原问题的解为例8求下列定解问题解：由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为2圆域内的拉普拉斯问题例9求下列定解问题解：（自然边界条件）（周期性边界条件）周期特征值问题(欧拉方程)令周期特征值问题故以上周期特征值问题的特征值和特征函数分别为（由自然边界条件）（由自然边界条件）于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的

7、叠加原理，设原问题的解为例10求下列定解问题解：（周期性边界条件）周期特征值问题欧拉方程这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为其他为零例11求下列定解问题解：由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为（自然边界条件）（由自然边界条件）例11求解下列二维热传导方程的定解问题解：由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问

8、题的解为例12求下列热传导方程的定解问题解法一：令解法二：令由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为常用特征值问题周期特征值问题四非齐次方程的解法求下列定解问题方程是非齐次的，是否可以用分离变量法？思考由线性方程的叠加原理，令：令：为什么？非齐次方程的特征函数展开法用常数变易法或拉普拉斯变换法求常微分方程的初值问题例13求下列定解问题解