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1、第九章矩阵§9.1矩阵的概念§9.2矩阵的运算§9.3矩阵的逆§9.4矩阵的秩§9.1矩阵的概念§9.2矩阵的运算§9.3矩阵的逆§9.4矩阵的秩第八章行列式§8.1行列式的定义§8.2行列式的性质§8.3行列式的计算§8.4克莱姆法则§8.1行列式的定义它可以通过加减消元法求解得(1.1.1)一、二阶与三阶行列式1.二阶行列式在初等数学中,大家都学过二元一次线性方程组本节首先由二元与三元一次线性方程组引出二阶及三阶行列式的概念,在此基础上给出一般阶行列式定义.并称其为二阶行列式.且在这样的记号中,横向排的称为行,纵向排的称为列,从左上角到右下角的线称为主对
2、角线.每一个数均称为一个元素.如(1.1.3)中有四个元素,排为两行两列,分别称为第一行、第二行和第一列、第二列,而主对角线上有两个元素.(1.1.3)式称为二阶行列式的定义式.为了便于表示上式,我们引入记号,规定:(1.1.3)(1.1.2)例如于是(1.1.2)式便可以表示为:其中称其为方程组(1.1.1)的系数行列式注1:从以上易见,行列式恰好是将系数行列式中的两个的系数分别换为常数项后得到的行列式,而恰好是将系数行列式中的两个的系数分别换成常数项后所得到的行列式.解易见系数行列式又例1解方程组于是其解为2.三阶行列式对于三元一次线性方程组类似地,为了
3、表示其解,我们引入记号并定义称其为三阶行列式.同二阶一样,横向排的称为行,纵向排的称为列,每个数均称为元素,左上角到右下角的线称为主对角线.仿照前面,利用三阶行列式的概念,记方程组(8.1.6)的系数行列式为,然后将中的第一、二、三列元素分别换为常数项、、后便得到行列式、和,于是方程组(8.1.6)的解可表示为:例2解方程组解系数行列式于是,该方程组的解为在一个行列式中,称去掉某个元素所在的行和列后剩下的比原来低了一阶的行列式称为元素的余子式,记作,而称为元素的代数余子式,记作,即如在行列式中元素5的代数余子式为元素-4的代数余子式为二、阶行列式定义1.余子
4、式与代数余子式由此可见,二阶行列式的值等于其任意一行或任意一列的元素与其对应的代数余子式乘积的和.2. 行列式与代数余子式的关系(1). 二阶行列式与代数余子式的关系同理可推出可见三阶行列式的值等于其第一行的各元素与其对应的代数余子式乘积的和.类似可证,它还等于其它行或列的各元素与其对应的代数余子式乘积的和由此可见,三阶行列式的值也等于其任意一行或任意一列的元素与其对应的代数余子式乘积的和.(2). 三阶行列式与代数余子式的关系综上可见,行列式的值等于其任意一行或任意一列的元素与其对应的代数余子式乘积的和.例3计算解2.阶行列式的定义定义8.1把由个元
5、素,组成的记号称为阶行列式,记作,其中称为第行第列的元素规定,当时行列式当时行列式或并分别称(1.1.9)(1.1.10)式为阶行列式按照第行和第列的展开式.(1.1.9)(1.1.10)例4设四阶行列式按第2列展开该行列式并求值解注2:易见该题若按其它行或列展开计算时就会复杂一些,因此计算行列式时应注意选择零元素较多的行或列展开,以减少余子式的个数,从而简化计算.例5按定义分别计算解注3:形如该例中的行列式称为上三角形行列式,类似还有下三角形行列式,由例5的计算可见上三角形行列式的值就等于主对角线上的元素乘积;同理可证,下三角形行列式的值也等于主对角线上的
6、元素乘积.综合起来可以说成三角形行列式的值等于主对角线上的元素乘积.习题8-11.计算下列行列式(1)(2)(3)(4)2.设请分别按第1行和第3列展开该行列式,并比较哪一种计算简单些,最后按简单的方式算出其值.在给出行列式性质之前,首先给出行列式的转置概念.§8.2行列式的性质如果将行列式的行和列的元素互换,则得一新的行列式按定义计算行列式显然是很不方便,尤其是当阶数比较高的情况下就更困难了,为了简化行列式的计算,本节不加证明的给出行列式的性质.称该新行列式为原来行列式的转置行列式,简称为的转置,记作.即注1:显然若是的转置,则也是的转置,即与互为转置.性
7、质1行列式转置值不变,即易见注2:该性质告诉我们,在行列式中行和列的地位是平等的,凡是行具有的性质对于列也具有.性质2交换行列式中任意两行(两列)元素的位置,行列式须改变符号.即如推论1如果行列式中有两行(或两列)元素对应相等,则该行列式的值为零.因为如果行列式中有两行(或两列)元素对应相等的话,互换这两行(两列)元素的位置行列式不会变,还为;但另外由性质2知这两行(两列)元素的位置互换行列式须改变符号,变为,于是必有性质3用乘以行列式的某一行(列)的各元素,就等于用乘以该行列式,即推论2如果行列式的某一行(列)有公因子,则公因子可以提到行列式的前面.推论4
8、如果行列式中有一行(列)元素全部为零,则该行列式的值
