数学建模排队论.ppt

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1、排队论QueuingTheory简介顾客到商店购买物品病员到医院看病旅客到售票处购买车票学生去食堂就餐顾客等待出租车通讯卫星与地面若干待传递的信息码头的船只等待装卸货物要降落的飞机因跑道不空而在空中盘旋等等......排队是日常生活和生产中经常遇到的现象。面对拥挤现象，如果服务设施太少，顾客排队等待的时间就会很长，对顾客会带来不良影响。而随服务设施增加，人力、物力的支出就越大。如何做到既保证一定的服务质量指标，又使服务设施费用经济合理，恰当地解决顾客排队时间与服务设施费用大小这对矛盾，这就是排队论所要研究解决的问题。简介排队论(

2、QueuingTheory)，又称随机服务系统理论(RandomServiceSystemTheory),是一门研究拥挤现象(排队、等待)的科学。具体地说，它是在研究各种排队系统概率规律性的基础上，解决相应排队系统的最优设计和最优控制问题。目录§1排队系统综述及常用分布§4排队系统的优化问题§2单服务台排队模型§3多服务台排队模型§1排队系统综述及常用分布1.1排队系统的描述任何一个排队问题的基本排队过程都可以用图1.1表示。每个顾客由顾客源按一定方式到达服务系统，首先加入队列排队等待接受服务，然后服务台按一定规则从队列中选择顾

3、客进行服务，获得服务的顾客立即离开。图1.11.2排队系统的组成通常的排队系统可以分为3个组成部分：输入过程、排队规则和服务台.3）顾客流的概率分布——或称相继顾客到达的时间间隔的分布，相继到达的时间间隔可以是确定的也可以是随机的，常见的分布有定长分布、二项分布和负指数分布等.输入过程：顾客到达的规律1）顾客源——可以是有限的，也可以是无限的.2）顾客到达的方式——描述顾客是怎样来到系统的，是单个到达还是成批到达.1.2排队系统的组成1）等待制——当顾客到达时，所有的服务台均被占用，顾客就排队等待，直到接受完服务才离去。例如出故

4、障的机器排队等待维修就是这种情况.排队规则：指从队列中挑选顾客进行服务的规律.3）混合制——介于损失制和等待制之间，即既有等待又有损失.有队列长度有限和排队等待时间有限两种情况，在限度以内就排队等待，超过一定限度就离去.2）损失制——当顾客到达时，所有的服务台均被占用，顾客随即离去.排队方式还分为单列、多列和循环队列。服务台：1）服务台数量及构成形式——从数量上说，服务台有单服务台和多服务台之分。从构成形式上看，有单队列单服务台、单队多服务台并联、多队多服务台并联式、单队多服务台串联式等.2）服务方式——指在某一时刻接受服务的顾

5、客数，有单个服务和成批服务两种.3）服务时间的分布——在多数情况下，对每一个顾客的服务时间是一随机变量，其概率分布有定长分布、负指数分布、爱尔朗分布等.1.2排队系统的组成1.3排队系统的符号表示（Kendall符号）根据不同的输入过程、排队规则和服务台数量，可以形成不同的排队模型，为方便对模型的描述，通常采用如下的符号形式：其中，X——顾客到达间隔时间概率分布Y——服务时间的概率分布Z——服务台数A——系统容量限制，即系统中允许的最多顾客数B——顾客源总数C——服务规则1.3排队系统的符号表示（Kendall符号）表示顾客相继

6、到达间隔时间和服务时间的各种分布符号有：M——表示到达过程为泊松过程或负指数分布；D——表示定长输入；Ek——表示k阶爱尔朗分布；G——表示一般相互独立的随机分布.比如，M／M／c／N／m／FCFS表示相继到达时间间隔和服务时间为负指数分布，c个服务台，系统容量为N，顾客源数目为m，采用先到先服务规则的排队模型.1.4排队系统主要数量指标和记号1.在系统里没有顾客的概率，即所有设施空闲的概率，记为2.排队的平均长度，即排队的平均顾客数记为3.在系统里的平均顾客数，包括排队的顾客数和正在被服务的顾客数，记为4.一位顾客花在排队上的

7、平均时间，记为5.一位顾客花在系统里的平均逗留时间，包括排队时间和被服务的时间，记为6.顾客到达系统时，得不到及时的服务，必须排队等待服务的概率，记为7.系统里正好有个顾客（包括排队的和正在被服务的顾客的概率记为1.5排队系统的常用分布1）泊松分布：(1)平稳性：在时间内，到达个顾客的概率只与和的大小有关，而与时刻起点无关．(2)独立性：在时间内到达个顾客的概率与起始时刻之前到达多少个顾客无关．(3)普通性：对于充分小的时间间隔，在时间内最多有一个顾客到达系统．即在时间内有2个或2个以上顾客到达的概率极小，有可以证明，在长为t的

8、时间内到达个顾客的概率为：期望为：泊松过程具有如下性质：1.5排队系统的常用分布当时，即单位时间内到达个顾客的概率为：2）负指数分布理论上可以证明若顾客在单位时间内到达系统的个数是服从参数为的泊松分布，则顾客到达系统的间隔时间服从参数为的负指数分布，反之亦然．负