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时间：2020-06-17
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1、第四节一、立体体积二、曲面的面积三、物体的质心四、物体的转动惯量五、物体的引力重积分的应用第九章一.D的面积为D的面积,则例：二、立体体积曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为占有空间有界域的立体的体积为例1.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为例2.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知例3.求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积.解:在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为例4二、曲面的面积设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点处小切平面的面
2、积dA无限积累而成.设它在D上的投影为d,(称为面积元素)则故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为隐式则则有且例3.计算双曲抛物面被柱面所截解:曲面在xoy面上投影为则出的面积A.例4.计算半径为a的球的表面积.解:设球面方程为球面面积元素为方法2利用直角坐标方程.(见书P109)方法1利用球坐标方程.四、物体的转动惯量设物体占有空间区域,有连续分布的密度函数该物体位于(x,y,z)处的微元因此物体对z轴的转动惯量:对z轴的转动惯量为因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故连续体的转动惯量可用积分计算.类似可得:对x轴的转动惯量对y
3、轴的转动惯量对原点的转动惯量如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.例7.求半径为a的均匀半圆薄片对其直径解:建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量.
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