2019版高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第53讲 曲线与方程学案.doc

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1、第53讲　曲线与方程考纲要求考情分析命题趋势　　了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2017·全国卷Ⅱ，202016·全国卷Ⅰ，20(1)2016·全国卷Ⅲ，20(2)求满足条件的动点轨迹及轨迹方程，用直接法和定义法较为普遍.分值：3～5分1．曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是__这个方程__的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是__曲线上__的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．曲线可以看

2、作是符合某条件的点的集合，也可看作是适合某种条件的点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题．2．求曲线方程的基本步骤1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(　√　)(2)方程x2＋xy＝x表示的曲线是一个点和一条直线．(　×　)(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.(　×　)(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线．(　×　)解析(1)正确．由f(x0，y0)＝0可知点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上，

3、又P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上时，有f(x0，y0)＝0.所以f(x0，y0)＝0是P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(2)错误．方程变为x(x＋y－1)＝0，所以x＝0或x＋y－1＝0，故方程表示直线x＝0或直线x＋y－1＝0.(3)错误．当以两条互相垂直的直线为x轴，y轴时，是x2＝y2，否则不正确．(4)错误．因为方程y＝表示的曲线只是方程x＝y2表示曲线的一部分，故其不正确．2．和点O(0,0)，A(c,0)距离的平方和为常数c(c≠0)的点的轨迹方程为__2x2＋2y2－

4、2cx＋c2－c＝0__.解析设点的坐标为(x，y)，由题意知()2＋()2＝c，即x2＋y2＋(x－c)2＋y2＝c，即2x2＋2y2－2cx＋c2－c＝0.3．MA和MB分别是动点M(x，y)与两定点A(－1,0)和B(1,0)的连线，则使∠AMB为直角的动点M的轨迹方程是__x2＋y2＝1(x≠±1)__.解析点M在以A，B为直径的圆上，但不能是A，B两点．4．平面内有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程为__y2＝8x(x≠0)__．解析＝，＝，由⊥，得·＝0.即2x＋·＝0

5、.∴动点C的轨迹方程为y2＝8x(x≠0)．5．圆的方程为x2＋y2＝4，抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是__＋＝1(y≠0)__.解析设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则＋＝2＝4，由抛物线定义得＋＝＋，∴＋＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．一　定义法求轨迹方程应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法

6、求解．【例1】已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程．解析由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以＋＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞2＝.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．二　直接法求轨迹方程直接法

7、求轨迹方程的常见类型及解题策略(1)题中给出等量关系，求轨迹方程．直接代入即可得出方程．(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．【例2】(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．解析由题知F.设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，且A，B，P，Q，R.记过

8、A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.(1)由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1＝＝＝＝＝－b＝k2.所以AR∥FQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1,0)，则S△ABF＝

9、b－a

10、

11、FD

12、＝

13、b－a

14、，S△PQF＝.由题设可得

15、b－a

16、＝，解得x1＝1.设满足条件的AB的中点为E(x，y)．当AB与x轴不垂直时，由