2018版高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数（一）导学案 新人教A版必修4.doc

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1、1.2.1　任意角的三角函数(一)学习目标　1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.知识点一　任意角的三角函数使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，

2、OP

3、＝r.思考1　角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？答案　sinα＝，cosα＝，tanα＝.思考2　对确定的锐角α，sinα，

4、cosα，tanα的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？答案　不会.因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.思考3　在思考1中，当取

5、OP

6、＝1时，sinα，cosα，tanα的值怎样表示？答案　sinα＝y，cosα＝x，tanα＝.梳理　(1)单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.(2)定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：①y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y；②x叫做α

7、的余弦，记作cosα，即cosα＝x；③叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝(x≠0).对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数.知识点二　正弦、余弦、正切函数的定义域思考　对于任意角α，sinα，cosα，tanα都有意义吗？答案　由三角函数的定义可知，对于任意角α，sinα，cosα都有意义，而当角α的终边在y轴上时，任取一点P，其横坐标x都为0，此时无意义，故tanα无意义.梳理　三角函数的定义域函数名定义域正弦函数R余弦函数R正切函数知识

8、点三　正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号思考　根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？答案　由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝.当α为第一象限角时，y>0，x>0，故sinα>0，cosα>0，tanα>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示.梳理　记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.知识点四　诱导公式一思考　当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值

9、呢？答案　它们的终边重合.由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等.梳理　诱导公式一sin(α＋k·2π)＝sinα，cos(α＋k·2π)＝cosα，tan(α＋k·2π)＝tanα，其中k∈Z.类型一　三角函数定义的应用命题角度1　已知角α终边上一点坐标求三角函数值例1　已知θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cosθ＝x，求sinθ，tanθ.解　由题意知r＝

10、OP

11、＝，由三角函数定义得cosθ＝＝.又∵cosθ＝x，∴＝x.∵x≠0，∴x＝±1.当x＝1时，P(1，3)，此时sinθ＝＝，tanθ＝＝3.当x＝－1时，P(－1，3)，此

12、时sinθ＝＝，tanθ＝＝－3.反思与感悟　(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三角函数值.②在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sinα＝，cosα＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便.(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练1　已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sinα＋cosα的值.解　r＝＝5

13、a

14、.①若a>0，则r＝

15、5a，角α在第二象限，sinα＝＝＝，cosα＝＝＝－，∴2sinα＋cosα＝－＝1.②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，sinα＝＝－，cosα＝＝，∴2sinα＋cosα＝－＋＝－1.综上所述，2sinα＋cosα＝±1.命题角度2　已知角α终边所在直线求三角函数值例2　已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋的值.解　由题意知，cosα≠0.设角α的终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则x＝k，y＝－3k，r＝＝

16、k

17、.(1)当k>0时，r＝k，α是第四象限角，sinα＝＝＝－，＝＝＝，∴10sinα＋＝10×＋3＝

18、－3＋3＝0.(2)当k<0时，r＝－k，α是第二象限角，sinα＝＝＝，＝＝＝－，∴10sinα＋＝10×＋3×(－)＝3－3＝0.综