2018版高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数（二）导学案 新人教a版必修4

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1、1.2.1　任意角的三角函数(二)学习目标　1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.知识点一　三角函数的定义域思考　正切函数y＝tanx为什么规定x∈R且x≠kπ＋，k∈Z?答案　当x＝kπ＋，k∈Z时，角x的终边在y轴上，此时任取终边上一点P(0，yP)，因为无意义，因而x的正切值不存在.所以对正切函数y＝tanx，必须要求x∈R且x≠kπ＋，k∈Z.梳理　正弦函数y＝sinx的定义域是R；余弦函数y＝cosx的定义域是R；正切函数

2、y＝tanx的定义域是{x

3、x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}.知识点二　三角函数线思考1　在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，过点A(1,0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sinα，cosα，tanα与MP，OM，AT的关系吗？答案　sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT.思考2　三角函数线的方向是如何规定的？答案　方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值.思考3　三角函数线的长度和方向各表示什么？答案　长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角

4、函数值的正负.梳理　图示正弦线角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线余弦线有向线段OM即为余弦线正切线过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与α的终边或其反向延长线相交于点T，有向线段AT即为正切线类型一　三角函数线例1　作出－的正弦线、余弦线和正切线.解　如图所示，sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT.反思与感悟　(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线.(2)作正切线时，应从点A(1,0)引单位圆的切线交角的

5、终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.跟踪训练1　在单位圆中画出满足sinα＝的角α的终边，并求角α的取值集合.解　已知角α的正弦值，可知MP＝，则P点纵坐标为.所以在y轴上取点，过这点作x轴的平行线，交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因而角α的取值集合为{α

6、α＝2kπ＋或α＝2kπ＋，k∈Z}.类型二　利用三角函数线比较大小例2　利用三角函数线比较sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小.解　如图，sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT，sin＝M′P′，cos＝OM′，tan＝AT′.显然

7、M

8、P

9、>

10、M′P′

11、，符号皆正，∴sin>sin；

12、OM

13、<

14、OM′

15、，符号皆负，∴cos>cos；

16、AT

17、>

18、AT′

19、，符号皆负，∴tan

20、°的正弦线M1P1，M2P2.∵M1P1>M2P2，且符号皆正，∴sin1155°>sin(－1654°).类型三　利用三角函数线解不等式(组)命题角度1　利用三角函数线解不等式(组)例3　在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合.(1)sinα≥；　(2)cosα≤－.解　(1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围.故满足要求的角α的集合为{α

21、2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}.(2)作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC与

22、OD，则OC与OD围成的区域(如图(2)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围.故满足条件的角α的集合为{α

23、2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}.反思与感悟　用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点：(1)先找到“正值”区间，即0～2π内满足条件的角θ的范围，然后再加上周期；(2)注意区间是开区间还是闭区间.跟踪训练3　已知－≤cosθ<，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围.解　图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即{θ

24、2kπ－π≤θ<2kπ－或2kπ＋<θ≤2kπ＋π，k∈Z}.命题角度2　利用三角函数线求

25、三角函数的定义域例4　求下列函数的定义域.(1)y＝；(2)y＝lg(sinx－)＋.解　(1)自变量x应满足2sinx－