高中数学 1.2.1 任意角的三角函数（二）学案 新人教a版必修4

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1、1.2.1任意角的三角函数【学习要求】1．掌握正弦、余弦、正切函数的定义域．2．了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．3．能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．【学法指导】1．三角函数线是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工具，利用三角函数线可以解或证明三角不等式，求函数的定义域及比较大小，三角函数线也是后面将要学习的三角函数的图象的作图工具．2．三角函数线是有向线段，字母顺序不能随意调换，正弦线、正切线的正向与y轴的正向相同，向上为正，向下为负；余弦线的正向与x轴的正向一致，向右为正，向左为负；当角α的终边与x轴重合时，正弦

2、线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在.1．三角函数的定义域正弦函数y＝sinx的定义域是__；余弦函数y＝cosx的定义域是__；正切函数y＝tanx的定义域是_______．2．三角函数线如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点．过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点．单位圆中的有向线段、、分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sinα＝，cosα＝，tanα＝.探究点一　三角函数的定义域任意角的三角函数是在坐

3、标系中定义的，角的范围是使函数有意义的实数集．根据任意角三角函数的定义可知正弦函数y＝sinx的定义域是__；余弦函数y＝cosx的定义域是__；正切函数y＝tanx的定义域是____________________________．在此基础上，可以求一些简单的三角函数的定义域．例如：(1)函数y＝sinx＋tanx的定义域为________________．答案　{x

4、x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}(2)函数y＝的定义域为________________．答案　{x

5、2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}(3)函数y＝lgcosx的定义域为______________

6、__．答案　{x

7、2kπ－

8、的一种“形”的补充，线段的长度表示了三角函数绝对值的大小，线段的方向表示了三角函数值的正负．仔细观察单位圆中三角函数线的变化规律，回答下列问题．问题1　若α为任意角，根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律可得：sinα的范围是；cosα的范围是.问题2　若α为第一象限角，证明sinα＋cosα>1.证明　设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，则sinα＝MP，cosα＝OM，OP＝1.在Rt△OMP中，由两边之和大于第三边得MP＋OM>OP，即sinα＋cosα>1.问题3　若α为任意角，根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律探究sin2α＋co

9、s2α与1的关系．解　当α的终边落在x轴上时，sinα＝0，

10、cosα

11、＝1，sin2α＋cos2α＝1；当α的终边落在y轴上时，

12、sinα

13、＝1，cosα＝0，sin2α＋cos2α＝1；当α的终边不落在坐标轴上时，sinα＝MP，cosα＝OM.在Rt△OMP中，

14、MP

15、2＋

16、OM

17、2＝

18、OP

19、2＝1.∴sin2α＋cos2α＝1.综上所述，对于任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.【典型例题】例1　在单位圆中画出满足sinα＝的角α的终边，并求角α的取值集合．解　已知角α的正弦值，可知MP＝，则P点纵坐标为.所以在y轴上取点.过这点作x轴的平行线，交单

20、位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因而角α的集合为{α

21、α＝2kπ＋或α＝2kπ＋，k∈Z}．小结　作已知角的正弦线、余弦线、正切线时，要确定已知角的终边，再画线，同时要分清所画线的方向，对于以后研究三角函数很有用处．跟踪训练1　根据下列三角函数值，作角α的终边，然后求角的取值集合：(1)cosα＝；(2)tanα＝－1.解　(1)因为角α的余弦值为，所以OM＝，则在x轴上取点，过该点作x轴的垂线，交单位圆于P1、P2两点，OP1，OP2是所求角α的终边，α的取值集合为：{α

22、α＝2kπ±，k∈Z}．(2)因为角α的正切值等于－1，所以AT＝－

23、1，在单位圆上过点A(1