2018年高考数学总复习 第九章 平面解析几何 第5讲 椭圆学案.doc

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1、第5讲　椭圆最新考纲　掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.知识梳理1.椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P＝{M

4、

5、MF1

6、＋

7、MF2

8、＝2a}，

9、F1F2

10、＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形性

11、质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距

12、F1F2

13、＝2c离心率e＝∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b2诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.(　　)(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.

14、(　　)(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.(　　)(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.(　　)(5)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同.(　　)解析　(1)由椭圆的定义知，当该常数大于

15、F1F2

16、时，其轨迹才是椭圆，而常数等于

17、F1F2

18、时，其轨迹为线段F1F2，常数小于

19、F1F2

20、时，不存在这样的图形.(2)因为e＝＝＝，所以e越大，则越小，椭圆就越扁.答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√2.(2015·广东卷)已知椭圆＋＝

21、1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m＝(　　)A.2B.3C.4D.9解析　依题意有25－m2＝16，∵m>0，∴m＝3.选B.答案　B3.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点.若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝1解析　由椭圆的定义可知△AF1B的周长为4a，所以4a＝4，故a＝，又由e＝＝，得c＝1，所以b2＝a2－c2＝2，则C的方程为＋＝1，故选A.答案　A4.(2016·全国

22、Ⅰ卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)A.B.C.D.解析　不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c，0)，则直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.由题意知＝×2b，解得＝，即e＝，故选B.答案　B5.(选修2－1P49A6改编)已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________.解析　设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1

23、，则F1(－1，0)，F2(1，0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x＞0，所以x＝，∴P点坐标为或.答案　或6.(2017·金丽衢十二校联考)若直线l与直线x＋y－1＝0垂直，其纵轴截距b＝－，椭圆C的两个焦点F1(－1，0)，F2(1，0)，且与直线l相切，则直线l的方程为________，椭圆C的标准方程为________.解析　因为直线l与直线x＋y－1＝0垂直，其纵轴截距b＝－，所以直线l的方程为y＝x－.设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，

24、与直线l的方程联立，消去y得(a2＋b2)x2－2a2x＋3a2－a2b2＝0，则Δ＝(－2a2)2－4(a2＋b2)(3a2－a2b2)＝0，化简得a2＋b2＝3　①，又因为椭圆的两个焦点的坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以a2－b2＝1　②，联立①②解得a2＝2，b2＝1，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.答案　y＝x－　＋y2＝1考点一　椭圆的定义及其应用【例1】(1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时

25、，点Q的轨迹是(　　)A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆(2)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝3，则b＝________.解析　(1)连接QA.由已知得

26、QA

27、＝

28、QP

29、.所以

30、QO

31、＋

32、QA

33、＝

34、QO

35、＋

36、QP

37、＝

38、OP

39、＝r.又因为点A在圆内，所以

40、OA

41、＜

42、OP

43、，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆