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《2018年高考数学二轮复习 专题八 第1讲 函数与方程思想、数形结合思想案 文.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第1讲 函数与方程思想、数形结合思想数学思想解读1.函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点,描述两个量之间的依赖关系,刻画数量之间的本质特征,在提出数学问题时,抛开一些非数学特征,抽象出数量特征,建立明确的函数关系,并运用函数的知识和方法解决问题.有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系,列出方程(组),进而通过解方程(组)求得未知量.函数与方程思想是相互联系,相互为用的.2.数形结合思想,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个
2、方面:(1)“以形助数”,把某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,揭示数学问题的本质;(2)“以数定形”,把直观图形数量化,使形更加精确.热点一 函数与方程思想应用1 求解不等式、函数零点的问题【例1】 (1)(2017·衡阳联考)设03、(x+4)=f(x),且当x∈[-2,0]时,f(x)=-6.若在区间(-2,6]内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有3个不同的实数根,则实数a的取值范围是________.解析 (1)设f(x)=ex-x-1,x>0,则f′(x)=ex-1,∴f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(0)=0,f(x)>0,∴ex-1>x,即ea-1>a.又y=ax(0ae,从而ea-1>a>ae.(2)由f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期为4,4、因为当x∈[-2,0]时,f(x)=-6.所以若x∈[0,2],有-x∈[-2,0],则f(-x)=-6=3x-6,因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=3x-6,x∈[0,2],由f(x)-loga(x+2)=0得f(x)=loga(x+2),作出函数f(x)的图象如图.当a>1时,要使方程f(x)-loga(x+2)=0恰有3个不同的实数根,则等价于函数f(x)与g(x)=loga(x+2)有3个不同的交点,则满足即解得5、2)探究提高 1.第(1)题构造函数,转化为判定函数值的大小,利用函数的单调性与不等式的性质求解.2.函数方程思想求解方程的根或图象交点问题(1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题,应用函数思想把方程根的问题转化为函数零点问题.(2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决.【训练1】 (1)设函数f(x)=-cosx,则方程f(x)=所有实根的和为( )A.0B.C.D.(2)(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+6、(a+2)x+1相切,则a=________.解析 (1)由f(x)=-cosx=,得-=cosx,令y=-,y=cosx.在同一坐标系内作出两函数图象,易知两图象只有一个交点.∴方程f(x)=的实根之和为.(2)由y=x+lnx,得y′=1+,∴曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),联立消去y得ax2+ax+2=0.依题意,Δ=a2-8a=0,∴a=8(a=0舍去).答案 (1)C (2)8应用2 函数与方程思想在数列中的应用【例2】 (2017·深圳调研)已知等7、差数列{an}的公差d≠0,a1+a4=14,且a1,a2,a7成等比数列.(1)求{an}的通项公式an与前n项和公式Sn;(2)令bn=,若{bn}是等差数列,求数列的前n项和Tn的最小值.解 (1)a1+a4=2a1+3d=14,由a1,a2,a7成等比数列得a1(a1+6d)=(a1+d)2,整理得d2=4a1d,∵d≠0,∴d=4a1,由d=4a1与2a1+3d=14联立,解得a1=1,d=4,∴an=a1+(n-1)d=4n-3,Sn==2n2-n.(2)由(1)知bn=,∵{bn}8、为等差数列,∴2b2=b1+b3,代入可解得k=-或k=0,当k=-时,bn=2n,则=,∴Tn==,又y==在(0,+∞)上是增函数,∴当n=1时,Tn有最小值.当k=0时,bn=2n-1,则==,∴Tn==.又y==在(0,+∞)上是增函数,∴当n=1时,Tn取到最小值.综上,当k=-时,Tn的最小值为;当k=0时,Tn的最小值为.探究提高 1.本题完美体现函数与方程思想的应用,第(2)问利用裂项相消求Tn,构造函数,利用单调性求Tn的最小值.2.数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函
3、(x+4)=f(x),且当x∈[-2,0]时,f(x)=-6.若在区间(-2,6]内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有3个不同的实数根,则实数a的取值范围是________.解析 (1)设f(x)=ex-x-1,x>0,则f′(x)=ex-1,∴f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(0)=0,f(x)>0,∴ex-1>x,即ea-1>a.又y=ax(0ae,从而ea-1>a>ae.(2)由f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期为4,
4、因为当x∈[-2,0]时,f(x)=-6.所以若x∈[0,2],有-x∈[-2,0],则f(-x)=-6=3x-6,因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=3x-6,x∈[0,2],由f(x)-loga(x+2)=0得f(x)=loga(x+2),作出函数f(x)的图象如图.当a>1时,要使方程f(x)-loga(x+2)=0恰有3个不同的实数根,则等价于函数f(x)与g(x)=loga(x+2)有3个不同的交点,则满足即解得5、2)探究提高 1.第(1)题构造函数,转化为判定函数值的大小,利用函数的单调性与不等式的性质求解.2.函数方程思想求解方程的根或图象交点问题(1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题,应用函数思想把方程根的问题转化为函数零点问题.(2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决.【训练1】 (1)设函数f(x)=-cosx,则方程f(x)=所有实根的和为( )A.0B.C.D.(2)(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+6、(a+2)x+1相切,则a=________.解析 (1)由f(x)=-cosx=,得-=cosx,令y=-,y=cosx.在同一坐标系内作出两函数图象,易知两图象只有一个交点.∴方程f(x)=的实根之和为.(2)由y=x+lnx,得y′=1+,∴曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),联立消去y得ax2+ax+2=0.依题意,Δ=a2-8a=0,∴a=8(a=0舍去).答案 (1)C (2)8应用2 函数与方程思想在数列中的应用【例2】 (2017·深圳调研)已知等7、差数列{an}的公差d≠0,a1+a4=14,且a1,a2,a7成等比数列.(1)求{an}的通项公式an与前n项和公式Sn;(2)令bn=,若{bn}是等差数列,求数列的前n项和Tn的最小值.解 (1)a1+a4=2a1+3d=14,由a1,a2,a7成等比数列得a1(a1+6d)=(a1+d)2,整理得d2=4a1d,∵d≠0,∴d=4a1,由d=4a1与2a1+3d=14联立,解得a1=1,d=4,∴an=a1+(n-1)d=4n-3,Sn==2n2-n.(2)由(1)知bn=,∵{bn}8、为等差数列,∴2b2=b1+b3,代入可解得k=-或k=0,当k=-时,bn=2n,则=,∴Tn==,又y==在(0,+∞)上是增函数,∴当n=1时,Tn有最小值.当k=0时,bn=2n-1,则==,∴Tn==.又y==在(0,+∞)上是增函数,∴当n=1时,Tn取到最小值.综上,当k=-时,Tn的最小值为;当k=0时,Tn的最小值为.探究提高 1.本题完美体现函数与方程思想的应用,第(2)问利用裂项相消求Tn,构造函数,利用单调性求Tn的最小值.2.数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函
5、2)探究提高 1.第(1)题构造函数,转化为判定函数值的大小,利用函数的单调性与不等式的性质求解.2.函数方程思想求解方程的根或图象交点问题(1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题,应用函数思想把方程根的问题转化为函数零点问题.(2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决.【训练1】 (1)设函数f(x)=-cosx,则方程f(x)=所有实根的和为( )A.0B.C.D.(2)(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+
6、(a+2)x+1相切,则a=________.解析 (1)由f(x)=-cosx=,得-=cosx,令y=-,y=cosx.在同一坐标系内作出两函数图象,易知两图象只有一个交点.∴方程f(x)=的实根之和为.(2)由y=x+lnx,得y′=1+,∴曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),联立消去y得ax2+ax+2=0.依题意,Δ=a2-8a=0,∴a=8(a=0舍去).答案 (1)C (2)8应用2 函数与方程思想在数列中的应用【例2】 (2017·深圳调研)已知等
7、差数列{an}的公差d≠0,a1+a4=14,且a1,a2,a7成等比数列.(1)求{an}的通项公式an与前n项和公式Sn;(2)令bn=,若{bn}是等差数列,求数列的前n项和Tn的最小值.解 (1)a1+a4=2a1+3d=14,由a1,a2,a7成等比数列得a1(a1+6d)=(a1+d)2,整理得d2=4a1d,∵d≠0,∴d=4a1,由d=4a1与2a1+3d=14联立,解得a1=1,d=4,∴an=a1+(n-1)d=4n-3,Sn==2n2-n.(2)由(1)知bn=,∵{bn}
8、为等差数列,∴2b2=b1+b3,代入可解得k=-或k=0,当k=-时,bn=2n,则=,∴Tn==,又y==在(0,+∞)上是增函数,∴当n=1时,Tn有最小值.当k=0时,bn=2n-1,则==,∴Tn==.又y==在(0,+∞)上是增函数,∴当n=1时,Tn取到最小值.综上,当k=-时,Tn的最小值为;当k=0时,Tn的最小值为.探究提高 1.本题完美体现函数与方程思想的应用,第(2)问利用裂项相消求Tn,构造函数,利用单调性求Tn的最小值.2.数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函
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