2018年高考数学一轮复习 专题31 数列求和教学案 文.doc

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1、专题31数列求和1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法。1．求数列的前n项和的方法(1)公式法①等差数列的前n项和公式Sn＝＝na1＋d．②等比数列的前n项和公式(ⅰ)当q＝1时，Sn＝na1；(ⅱ)当q≠1时，Sn＝＝.(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法主要用于一个等差数列与

2、一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.2．常见的裂项公式(1)＝－.(2)＝.(3)＝－.高频考点一　分组转化法求和例1、(2016·天津卷)已知{an}是等比数列，前n项和为Sn(n∈N＋)，且－＝，S6＝63.(1)求{an}的通项公式；(2)若对任意的n∈N

3、＋，bn是log2an和log2an＋1的等差中项，求数列{(－1)nb}的前2n项和.(2)由题意，得bn＝(log2an＋log2an＋1)＝(log22n－1＋log22n)＝n－，即{bn}是首项为，公差为1的等差数列.设数列{(－1)nb}的前n项和为Tn，则T2n＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b)＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n＝＝2n2.【方法规律】(1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.(2)若数列{cn}的通项

4、公式为cn＝其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和.【变式探究】(1)数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值等于(　　)A.n2＋1－B.2n2－n＋1－C.n2＋1－D.n2－n＋1－(2)数列{an}的通项公式an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2016等于(　　)A.1008B.2016C.504D.0解析　(1)该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋，则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋＝n2＋1－.(2)a1＝cos＝0，a2＝2cosπ＝－2，a3＝0，a4

5、＝4，….所以数列{an}的所有奇数项为0，前2016项的所有偶数项(共1008项)依次为－2，4，－6，8，…，－2014，2016.故S2016＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2014＋2016)＝1008.答案　(1)A　(2)A高频考点二　错位相减法求和例2、(2016·山东卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)令cn＝.求数列{cn}的前n项和Tn.又Tn＝c1＋c2＋…＋cn.得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n

6、＋1].2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2].两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝3×＝－3n·2n＋2.所以Tn＝3n·2n＋2.【方法规律】(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式.【变式探究】已知{an}是递增的等差数列，

7、a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和.则Sn＝＋＋…＋＋，Sn＝＋＋…＋＋.两式相减得Sn＝＋－＝＋－.所以Sn＝2－.高频考点三　裂项相消法求和例3、Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和.解　(1)由a＋2an＝4Sn＋3，可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.可得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an).由于an>0，可得

8、an＋1－an＝2.又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.