专题31 数列求和（教学案）-2017年高考数学（文）一轮复习精品资料（解析版）

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1、1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法．1．求数列的前n项和的方法(1)公式法[来源:]①等差数列的前n项和公式Sn＝＝na1＋d．②等比数列的前n项和公式(ⅰ)当q＝1时，Sn＝na1；(ⅱ)当q≠1时，Sn＝＝.(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法主要用于一

2、个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．【班级成绩管理小程序】只为爱孩子的你例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.2．常见的裂项公式(1)＝－.(2)＝.(3)＝－.高频考点一　分组转化法求和例1、已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；

3、(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．【感悟提升】某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．【变式探究】已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1＋(－1)n·(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n项和Sn.解　Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln3，

4、所以当n为偶数时，【班级成绩管理小程序】只为爱孩子的你Sn＝2×＋ln3＝3n＋ln3－1；当n为奇数时，Sn＝2×－(ln2－ln3)＋(－n)ln3＝3n－ln3－ln2－1.综上所述，Sn＝高频考点二　错位相减法求和例2、(2015·湖北)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)当d>1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.【感悟提升】用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类

5、型，特别是等比数列公比为负数的情形；【班级成绩管理小程序】只为爱孩子的你(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．【变式探究】已知数列{an}满足首项为a1＝2，an＋1＝2an(n∈N*)．设bn＝3log2an－2(n∈N*)，数列{cn}满足cn＝anbn.(1)求证：数列{bn}为等差数列；(2)求数列{cn}的前n项和Sn.高频考点三　裂项相消法求和例3、

6、设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋＜.(1)解　由题意知，S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*.[来源:学*科*网Z*X*X*K]令n＝1，有S－(12＋1－3)S1－3×(12＋1)＝0，可得S＋S1－6＝0，解得S1＝－3或2，即a1＝－3或2，又an为正数，所以a1＝2.[来源:学#科#网Z#X#X#K](2)解　由S－(n2＋n－3)Sn

7、－3(n2＋n)＝0，n∈N*可得，(Sn＋3)(Sn－n2－n)＝0，【班级成绩管理小程序】只为爱孩子的你则Sn＝n2＋n或Sn＝－3，又数列{an}的各项均为正数，所以Sn＝n2＋n，Sn－1＝(n－1)2＋(n－1)．所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n.又a1＝2＝2×1，所以an＝2n.(3)证明　当n＝1时，＝＝＜成立；当n≥2时，＝＜＝，所以＋＋…＋＜＋＝＋＜＋＝.所以对一切正整数n，有＋＋…＋＜.【变式探究】已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝，n∈

8、N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2017＝________.【答案】　－1【感悟提升】(1)用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：＝(－)，＝【班级成绩管理小程序】只为爱孩子的你(－)裂项后可以产生连续可以相互抵消的项．(2)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项