2018年高考数学一轮复习 专题47 圆的方程教学案 理.doc

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1、专题47圆的方程1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．　2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要条件：D2＋E2－4F＞0圆心坐标：半径r＝2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)d＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；(2)d＝r⇔M在

2、圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)d＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内．高频考点一　求圆的方程例1、(1)(2016·天津卷)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________.(2)以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，与该抛物线的准线相切的圆的标准方程为________.解析　(1)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a＞0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2，所以圆C的半径r＝

3、

4、CM

5、＝＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.(2)抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，准线为x＝－1，故所求圆的圆心为(1，0)，半径为2，所以该圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.答案　(1)(x－2)2＋y2＝9　(2)(x－1)2＋y2＝4【举一反三】(1)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为__________________．答案　2＋y2＝解析　由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点，(4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y＋1＝－2(x－2)，令y

6、＝0，解得x＝，圆心为，半径为.(2)根据下列条件，求圆的方程．①经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；②圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)．②方法一　如图，设圆心(x0，－4x0)，依题意得＝1，∴x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r＝2，故圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.方法二　设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，根据已知条件得解得因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.【感悟提升】(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求

7、出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．【变式探究】(1)若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为____________．(2)过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为________________．答案　(1

8、)x2＋(y－1)2＝1　(2)(x－3)2＋y2＝2高频考点二　与圆有关的最值问题例2、已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值.解　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆.(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±(如图1).所以的最大值为，最小值为－.【感悟提升】与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1

9、)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u＝型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离平方的最值问题．【变式探究】(1)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则

10、PQ

11、的最小值为(　　)A．6B．4C

12、．3D．2答案　B解析　

13、PQ

14、的最小值为圆心到直线的距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以

15、PQ

16、的最小值d＝3－(－3)－2＝4.(2)已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3