2018年高考数学一轮复习 专题05 函数的单调性与最值教学案 文.doc

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1、专题05函数的单调性与最值1.利用函数的单调性求单调区间，比较大小，解不等式；2.利用函数单调性求最值和参数的取值范围；3.与导数交汇命题，以解答题形式考查．1．函数单调性的定义增函数减函数定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数图象自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是增函数或是

2、减函数就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间．【特别提醒】1．函数的单调性是局部性质函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．2．函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．3．单调区

3、间的表示单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．高频考点一　确定函数的单调性(区间)例1、(1)函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为(　　)A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)(2)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性．答案　D(2)解　法一　设－10，x1－1<0，x2－1<0，故当a>0时，f(x1)－

4、f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上递减；当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上递增.【方法规律】(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1)．(2)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法．(3)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t

5、)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．【变式探究】判断函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明．解　f(x)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．证明如下：所以函数f(x)在[，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上为增函数．法二　f′(x)＝1－，令f′(x)>0，则1－>0，解得x>或x<－(舍)．令f′(x)<0，则1－<0，解得－0，∴0

6、2、(1)已知函数f(x)＝则f(f(3))＝________，函数f(x)的最大值是________．(2)已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)且a≤1.①当a＝时，求函数f(x)的最小值；②若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．(1)解析　①由于f(x)＝所以f(3)＝log3＝－1，则f(f(3))＝f(－1)＝－3，②当x>1时，f(x)＝logx是减函数，得f(x)<0.当x≤1时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1在(－∞，1]上单调递增，则f(x)≤1，综上可知，f(x)的最大值为1.答案　－3　1(2

7、)解　①当a＝时，f(x)＝x＋＋2，设1≤x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)，令g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1，x∈[1，＋∞)，∴g(x)在[1，＋∞)上是减函数，g(x)max＝g(1)＝－3.又a≤1，∴当－30在x∈[1，＋∞)上恒成立．故实数a的取值范围是(－3，1]．【方法规律】(1)求函数最值的常用方法：①单调性法；②均值不等式法；③配方法；④图象法；⑤导数法．(2)利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a

8、，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．若函数f(x)在闭区间[a，b]上