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1、解析几何之“定比点差法”文章来源：lanqi.org作者：意琦行时间：2016年1月5日介绍定比点差法之前，先介绍一些解析几何中的基础知识：一、定比分点若???⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则称点?为点?、?的?定比分点．当?>0时，点?在线段??上，称为内分点；当?<0(?≠−1)时，点?在线段??的延长线上，称为外分点．定比分点坐标公式：若点?1+??2?1+??2?(?1,?1),?(?2,?2),??⃗⃗⃗⃗⃗⃗=???⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则点?的坐标为?(,).1+?1+?二、点差法?2?2若点?(?1,?1),?(?2,?2)在有心二次曲线?2±?2=1上，则有?2?2?2?2112
2、2±=1,±=1,?2?2?2?2两式作差得(?1+?2)(?1−?2)(?1+?2)(?1−?2)±=0.?2?2此即有心二次曲线的垂径定理，可以解决与弦的中点相关的问题．下面介绍定比点差法：?2?2若点?(?1,?1),?(?2,?2)在有心二次曲线?2±?2=1上，则有?2?2?2?2?2?211222±=1,±=??2?2?2?2两式作差得(?1+??2)(?1−??2)(?1+??2)(?1−??2)2±=1−?.?2?2这样就得到了1?1+??2?1−??21?1+??2?1−??2⋅⋅±⋅⋅=1.?21+?1−??21+?1−??2?2例1过异于原点的点?(?
3、0,?0)引椭圆?2+?2=1(?>?>0)的割线???，其中点?,?在椭圆上，?????0??0?点?是割线???上异于?的一点，且满足=．求证：点?在直线+=1上．?????2?2证明直接运用定比点差法即可．设??⃗⃗⃗⃗⃗=???⃗⃗⃗⃗⃗，则有??⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−???⃗⃗⃗⃗⃗⃗，设?(?1,?1),?(?2,?2),?(??,??)，则有?1+??2?1+??2?1−??2?1−??2?0=,?0=;??=,??=.1+?1+?1−?1−?又因为点?,?在椭圆上，所以有解析几何之“定比点差法”第1页共3页?2?2?2?2?2?211222+=1,+=??2?2?
4、2?2两式作差得(?1+??2)(?1−??2)(?1+??2)(?1−??2)2+=1−?.?2?22?0???0??两边同除以1−?，即可得到+=1.?2?2命题得证．?2?2练习1(2008高考数学安徽卷理科)设椭圆?：+=1(?>?>0)过点?(√2,1)，且焦点为?2?2?1(−√2,0)．(1)求椭圆的方程；(2)过点?(4,1)的动直线?与椭圆?相交于不同点?,?时，在线段??上取点?，满足
5、??
6、⋅
7、??
8、=
9、??
10、⋅
11、??
12、，证明：点?总在某定直线上．?2?2答案(1)+=1；(2)点?在直线2?+?−2=0上．42?2?2??例2已知椭圆+=1，过定点?
13、(0,3)的直线与椭圆交于两点?,?(?,?可以重合)，求的取94??值范围．??解：设?(?1,?1),?(?2,?2)，??⃗⃗⃗⃗⃗=???⃗⃗⃗⃗⃗，则=−?．???1+??2?1+??2于是?(,)=(0,3)，于是1+?1+??1+??2=0,?1+??2=3(1+?)(1)?12?12?2?22?2?222又因为点?,?在椭圆上，所以有+=1,+=?,9494两式相减得(?1+??2)(?1−??2)(?1+??2)(?1−??2)2+=1−?.(2)94将(1)代入(2)中得到4?1−??2=(1−?).(3)343(1+?)+(1−?)1353由(1)(3
14、)解得?1==+?∈[−2,2].2661??1从而解得?的取值范围为[−5,−]，于是的取值范围为[,5]．5??5?2?2练习2设?(0,16)，?,?是椭圆+=1上的两个动点(可以重合)，且??⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=???⃗⃗⃗⃗⃗⃗，求实数?2516的取值范围．35答案[,]．53解析几何之“定比点差法”第2页共3页?2?2例3设?1(−?,0)、?2(?,0)为椭圆?2+?2=1(?>?>0)的左、右焦点，?为椭圆上任意一点，直线??1,??2分别交椭圆于异于?的点?、?，若⃗?⃗⃗⃗?⃗⃗⃗1=??⃗⃗⃗1⃗⃗⃗?⃗，⃗?⃗⃗⃗?⃗⃗⃗2=??⃗⃗⃗2⃗⃗⃗?⃗，求证
15、：?+?=2⋅?2+?2．?2−?2?0+??1?0+??1?0+??2?0+??2证明设?(?0,?0)，?(?1,?1)，?(?2,?2)，则?1(,),?2(,).1+?1+?1+?1+?于是有?0+??1=−(1+?)?,?0+??1=0;(4)?0+??2=(1+?)?,?0+??2=0.(5)?02?02?2?12?2?122又由点?,?在椭圆上得到+=1,+=?,?2?2?2?2两式相减得(?0+??1)(?0−??1)(?0+??1)(?0−??1)2+=1−?.(6)?2?2?2从而有??1=(?
