浅谈解析几何中的点差法

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1、浅谈解析几何中的“点差法”高二（七班）第一学习小组　　　易正贵整理　　2013年5月解析几何在高考中占有重要地位，一般放在试题倒数第二题，有时也成为压轴题。在高考中，绝大多数学生只能完成第1问，第2问，因计算量大而难无法完成。在平时学习及复习过程中，要让自己真正理解解析几何中的最优解法与算法，这样在考试中才能作出正确的、最优的解法选择，这样才能事半功倍。下面谈谈什么是“点差法”？什么情况下用“点差法”？若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称

2、这种代点作差的方法为“点差法”。二次曲线上两点，设的中点，的斜率为。由（1）－（2）得，又∵∴　这一等式建立了二次曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间关系式。即已知弦的中点，可求弦的斜率；已知斜率，可求弦的中点坐标。同时也告诉我们当题目问题涉及到弦的斜率与弦的中点在一起时，就要想到“点差法”。一、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、已知抛物线，过点的直线交抛物线于A、B两点且点平分AB，求直线的方程。分析：此题涉及到弦AB的斜率及弦AB的中点坐标，故采用“点差法”。解：设则从而直线的方程为练习1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。　

3、　2、已知的三个顶点都在抛物线上，其中，且的重心是抛物线的焦点，求直线的方程.一、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例2、已知椭圆C：，直线过点P（1,1）交椭圆C于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程。分析：此题涉及到弦AB的中点坐标，且弦的斜率等于MP的斜率。故采用“点差法”。解：设，则∵点P在椭圆内部，直线与椭圆恒有两个交点，∴点M的轨迹方程为：三、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例3、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。解：设，为椭圆上关于直线的对称两点，为弦的中点，则，两式相减得，即，，　　这就是弦

4、中点轨迹方程。它与直线的交点必须在椭圆内联立，得　则必须满足，即，解得练习、若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围.四、证明定值问题例4已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦，是的中点，为椭圆的中心.求证：直线和直线的斜率之积是定值.证明设且，则，（1），（2）得：，，.又，，（定值）.五、求参数的取值范围例5、（稳派2013年5月高二年级模底考试理科第20题）如图，在中，，椭圆C：，以E、F为焦点且过点D，点O为坐标原点。（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若点K满足，问是否存在不平行于EF的直线与椭圆C交于不同的两点M、N且，若存在，求出直线

5、的斜率的取值范围，若不存在，说明理由。xyDEFO解：（Ⅰ）略：　，（Ⅱ）分析：∵，设MN的中点为H，则，此条件涉及到弦MN的中点及弦MN的斜率，故用“点差法”设，直线的斜率为（，则①　②　由①－②得：　又∵，则，∴，从而解得，点在椭圆内，则且