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1、工科物理1998年第8卷第6期23简谐振动曲线陈凤至(浙江大学物理系,杭州310027)(收稿日期:1998-04-03)摘要本文求出了一种曲线,质点在其上可以作大幅度的谐振动.关键词谐振曲线;简谐振动THECURVESONWHICHAPOINTMASSOSCILLATESHARMONICALLYChenFengzhi(DepartmentofPhysics,ZhejiangUniversity,Hangzhou310027)AbstractInthispaper,wefindanexplicitexpressionf
2、orthecurvesonwhichapointmassoscillatesharmonically.Wediscussalsothefeaturesofthecurves.KeyWordsharmoniccurve;simpleharmonicoscillation众所周知,单摆的小角度振动是简谐振竖直线为y轴.对于这一坐标系,简谐振动曲动.同样地,小球在位于竖直平面内的圆弧上线满足如下的初始条件:的振动也是简谐振动,只要小球的振幅足够当x=0时,y=0,y′=0(1)地小.对于后一情形,我们自然会想到一种推导致条件
3、y′=0的理由是:当小球处于平衡广,即可否找到一种曲线,小球在其上的振动位置时恢复力为零,所以曲线的切线是水平不论其振幅如何都是精确的简谐振动.本文的.在我们选取的坐标系中,由于斜率的绝对的目的就是要寻找这样的曲线.为简便起见,值随离原点的弧长而增大,可知对曲线上的我们称之为简谐振动曲线.所有点有y>0.首先我们分析一下简谐振动曲线的定性再来求决定该曲线的微分方程.由于曲特征.我们知道,对于简谐振动,恢复力与离线的切线的斜率为y′=tgA,恢复力可改写为2平衡位置的弧长成正比.在我们的情形,恢复f=mgy′/1+y′.
4、另一方面,曲线上一点到x2力为mgsinA,这里m是小球的质量,A是曲原点的弧长为∫1+y′dx.作简谐振动的0线的切线相对于水平方向的倾角.因此,A随物体,其恢复力必须与弧长成正比,故有离原点的弧长增大而增大.由于斜率等于x22mgy′/1+y′=k∫1+y′dx(2)0tgA,所以该曲线的斜率(绝对值)必须随离平这里k是比例系数.求(2)式对x的导数,再衡位置的弧长而增大.再者,在平衡位置的两作一些整理,得侧的恢复力是对称的.因此该曲线必须关于22y″=B(1+y′)(3)通过平衡点的竖直线是对称的.现在我们取k这
5、里B=.(3)式是决定简谐振动曲线的平衡点为原点,过平衡点的水平线为x轴,mg24工科物理1998年第8卷第6期微分方程.(7).最后要指出,由于(8)式中含有反正切函现在求解微分方程(3).令y′=z,(3)式数,如果(x,y)满足(8)式,则(x+kP,y)也满可改写为足(8)式.因此,(8)式所代表的曲线是周期曲dz22线,如图2所示.z=B(1+z)dy表1上式的解为y0.010.10.20.30.40.511+z2=-2By+C(4)x0.2000.6220.8641.0381.1751.285利用初始条件(
6、1)可得C=1.于是(4)式变为y0.60.70.80.91.01x1.3761.4491.5071.5491.5712=1-2By(5)1+z将z=y′代入(5)式,并作一些变换,得2Byy′=±(6)1-2By正负号对应于曲线在+x轴和-x轴上的分枝.由于曲线关于y轴的对称性,我们只须求曲线在+x轴的分枝.求解方程(6),得2Bx=2Bx(1-2By)-1-2ByParctg+(7)2By2图1这里我们已用了初始条件(1).解(7)的形式非常复杂,很难由它设想出曲线的形状.为了了解曲线的特征,我们来考1虑(7)式中
7、的一条曲线,即B=时的曲线:21-yPx=y(1-y)-arctg+y2(8)由上式可见0≤y≤1.令y由0变到1,并利用(8)式算出x的值,得表1.对应的图象即图1中的OA段.由曲线的对称性可得曲线图2在-x轴上的分枝,即OB段.由曲线的形状总之,我们寻找的曲线——简谐振动曲可知,小球的振幅不能任意大,它必须小于某线是存在的,而且是简单的初等函数.我们完个定值.从物理上看,这是合理的,因为如果全可以作出一个这样的曲线模型,用以演示小球到达A点速度还不为零,它将作上抛运小球的简谐振动.这种模型所演示的简谐振动(A点的切
8、线是竖直的).还要指出,在曲线动是精确的,而且不必把振动限制在小振幅(8)上滚动的小球的质量是固定的,它等于的范围内.2k/g.因此,对于质量不等于2k/g的小球,(全文完)要采用不同的曲线.当然,这些曲线都属于解
