自动控制原理(11J-10).ppt

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1、§3.5自动控制系统的代数稳定判据本节主要内容：系统稳定的概念系统稳定的充分必要条件稳定性的判定方法稳定判据的应用1稳定是一个控制系统能否在实际中投入使用的首要条件。定性描述：稳定性是系统恢复原平衡状态的能力,是系统自身的固有属性，它只与系统自身的结构、参数有关（与输入无关）。系统处于平衡状态下，受到外界扰动作用后会偏离平衡状态（偏差）。如果该扰动消除后，系统在有限时间内能自动恢复到原平衡状态，则系统具有恢复原平衡状态的能力，这个系统是稳定系统；否则系统是不稳定。（图例）系统稳定性定义(BIBO)：在有界输入作用下，若动态系统输出响应也有界，则系统为稳定系统。3.5－1系统稳定性的概念

2、稳定性是控制理论中的一项重要研究内容。23.5－2线性定常系统稳定的充要条件从系统的微分方程入手，可以确定系统稳定的充分必要条件。设线性定常系统微分方程为：系统传递函数为：3q－实数极点的个数r－复共轭极点的对数系统阶次:n=q+2r4系统总响应＝通解＋特解通解取决于系统的固有特性－自然响应取决于系统的特征根（极点）－系统的结构及参数特解取决于系统的输入－强迫响应（控制作用）通解的一般形式：5为了使系统只受输入信号的控制，希望通解很快消失－是暂态响应。为此，令：线性定常系统稳定的充分必要条件为：系统特征方程的所有根（即闭环传递函数的所有极点）均具有负的实部。（或特征方程的所有根均在S平

3、面的左半部）。6根据充要条件，如果能将系统所有的极点求出，则可立即判断系统稳定性。但是对于高阶系统，系统极点是不易求出的。劳斯、霍尔维茨研究了线性系统稳定性判定方法，提出了代数稳定判据。1.劳斯(Routh)稳定判据2.霍尔维茨(Hurwitz)稳定判据3.谢绪恺稳定判据3.5－3系统稳定性判定方法－代数稳定判据7劳斯判据是基于代数方程式的根pi与系数ai关系而建立的线性系统稳定性判据。劳斯(Routh)判据设n阶系统的特征方程为：D(s)=a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an=(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=08要保证特征方程的全部特征根都具有负实部，必须满足：（1）

4、特征方程的各项系数ai均不为零。(不能缺项)（2）特征方程的各项系数的符号必须相同。(全为正号)由此得：系统稳定的必要条件是特征方程的各项系数ai均大于零（也不能缺项）。（如何应用？）9sna0a2a4a6……sn-1a1a3a5a7……sn-2b1b2b3b4……sn-3c1c2c3c4……………s2f1f2s1g1s0h1其中：稳定的充分必要条件：特征方程的各项系数ai均大于零，并且劳斯表中第一列的所有元素均大于零。在此基础上，劳斯建立了判定系统稳定的充分必要条件。将特征方程的系数排成下面的行和列，即为劳斯阵列(劳斯表)。总行数应为n+110注意：劳斯表的每一行右边要计算到出现零为

5、止；●总行数应为n+1;●如果计算过程无误，最后一行应只有一个数，且等于an；●可用一个正整数去乘或除劳斯表中的任意一行，不改变判断结果。sna0a2a4a6……sn-1a1a3a5a7……sn-2b1b2b3b4……sn-3c1c2c3c4……………s2f1f2s1g1s0h1劳斯判据：劳斯表中第一列的所有计算值均大于零，则系统稳定。如果第一列中出现小于或等于零的数，则系统不稳定。而且第一列各系数符号的改变次数，等于特征方程正实部根的数目。11关于劳思判据的几点说明如果第一列元素中出现一个负值，则系统不稳定；第一列元素符号改变的次数等于系统特征方程正实部根的数目，即系统中不稳定根的个

6、数;如果第一列中有元素等于零，或某一行值全为零,也说明系统不稳定。此时要特殊处理才可确定不稳定根。12例1三阶系统稳定性分析。已知三阶系统特征方程为：可以证明：二阶系统稳定的充要条件为：各项系数均大于零。结论：三阶系统稳定的充要条件为各系数大于零，并且满足：a1a2>a0a3。劳斯阵列为：13例2系统特征方程为S4＋2S3＋3S2＋4S＋5=0试用劳斯判据判别系统是否稳定；若不稳定，确定正实部根的数目。因第一列出现负数，系统是不稳定的。且第一列系数符号改变两次，故特征方程有两个正实部根。解根据特征方程系数计算劳斯表14例2验证>>p=[1,2,3,4,5];>>r=roots(p)r=

7、0.2878+1.4161i0.2878-1.4161i-1.2878+0.8579i-1.2878-0.8579i结果：有两个正实部的根。15例3某系统特征方程为：S4＋3S3＋3S2＋2S＋2=O试用劳斯判据判断系统的稳定性。因第一列出现负数，系统是不稳定的。且第一列系数符号改变两次，故特征方程有两个正实部根。解根据特征方程系数计算劳斯表16例3验证>>p=[1,3,3,2,2];>>r=roots(p)r=-1.5661+0.4588i-