圆弧中点的性质及其应用.pdf

《圆弧中点的性质及其应用.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、6中等数学圆弧中点的性质及其应用沈文选(湖南师范大学数学奥林匹克研究所，410081)中图分类号：0123．1文献标识码：A文章编号：1005—6416(2013)07一OOO6—04(本讲适合高中)上一点，过D的OO的切线与o0交于曰、圆弧的中点联系着相等的弦，相等的圆c两点，直线AD与o0交于点周角，角平分线，平行的直线等，这为处理某(1)若o0。内切于o0，则AM平分些平面几何问题建立了一些平台，从而获得BAC，且C=MD·MA；比较清晰的解题思路．本文将这些“平台”以(2)若o0。外切于o0，则AM平分性质的形式给出．BAC的外角，且MCz=MD·MA，M为圆弧，-、1知识

2、介绍BC的中点．性质5(阿基米德折弦定理)设为圆性质l设为圆弧BC上的一点，则·、弧BC的中点，A是该圆弧所在圆周上的另一为弧BC的中点的充分必要条件是MB=MC．点，且与在弦BC的同侧，满足AB>AC，作／、MD上AB于点D，则BD=DA+AC．性质2设为圆弧BC上的一点，则性质5的证明如图1，在BA上取点为弧BC的中点的充分必要条件是过点的E，使BE=AC．圆弧的切线与弦BC平行．，、性质3设M为圆弧BC上的一点，该圆弧所在圆上的另一点与位于弦BC的异侧，点，在线段AM上，且满足IM=MB，则C为弧BC的中点的充分必要条件是，为△ABC的内心．、性质4设为圆弧BC的中点，A是该

3、图l圆弧所在圆周上另一点，直线MA与直线BC易知△MBE△MCA．交于点D．从而，ME=MA．(1)若点A与位于弦BC的异侧，则又MD上，则ED=DA．AM平分／BAC，且MC=MD·MA；故BD=BE+ED=AC+DA．(2)若点A与位于弦BC的同侧，则，、推论2设为圆弧BC的中点，A是该AM平分BAC的外角，且圆弧所在圆周上的另一点，且AB>AC．MC=MD·MA．AD·AM=AB·AC．(1)若点A与位于弦BC的同侧，则推论1两圆O0与O0：相切于点AMB一MA=BA·AC；(o0．的半径小于o0的半径)，D为O0(2)若点A与位于弦BC的异侧，则MA2一MB：BA．AC收稿

4、日期：2012—10—19修稿日期：2013—03—22．2013年第7期7CN=NB=AC=b．AB／／CN．2应用举例于是，四边形ABCM及四边形ABNC均、例1在△ABC中，已知AB>AC，A为等腰梯形，有的一个外角的平分线与△ABC的外接圆交BM=AC=b．AN=BC：a．于点E，过作上AB于点证明：注意到，M、Ⅳ分别为弧AC、BC(分别不2AF=AB—AC．含B或)的中点，由推论2(2)知(1989，全国高中数学联赛)MB一MA=AB·BC．证明如图2，设为延长线上一NA。一NB。=AB·AC．点，联结EB、EC．即b一c=ac．a2一b=bc．K两式相加得a一ac—c(

5、b+c)二旦：旦：一1．①又由b+bc=a，有a=导D．②l冬I2由式①、②得由AE平分BAC的外角知导一a：1+T1：一1．③CD0DC。胎C=EAK=EAB=ECB．(2)解由式③得ab=ac+6c．于是，EC=EB，即E为圆弧BAC的中点．故由性质5知BF=AF+AC．从而，AB—FA=AF+AC．a2+b~+c2+2(ab-bc-ac)．．———．1一2+b+c2一’故2F=AB—AC．a例2在△ABC中，已知：：C例3已知C是线段AB的中点，过点=4：2：1，A、B、C的对边分别记为a,b、C．A、c的oD。与过点、G的oD交于c、D两(1)证明：1+丁1：；点，P是o0

6、。上弧AD(不包含点C)的中点，aDCQ是o0上弧BD(不包含点C)的中点．证(2)求的值．明：P9-l-cD．⋯(1)证明如图3，作ABC的角平分(2006，波兰数学奥林匹克)线，与△ABC的外接圆交于点，作BAC证明如图4，联结、PD、QD、QB，设的角平分线，与△ABC的外接圆交于点Ⅳ．PC与AD交于点E，QC与BD交于点CⅣ图3图4则AM=MC=AB=c．AM／／BC；由性质4知8中等数学PD=PE·PC，QD=QF·Qc，于是，由相似三角形知及CE·CP=CA·CD=CB·CD=CF·CQ．EP=EP·ET．③故P∥一QD=PE·PC—QF·Qc由式②、③知EB=E1．=

7、(PC—CE)·PC一(Qc—CF)·Qc利用性质3，知，为△DBC的内心．=PC一QC一CE·PC+CF·QC这表明，△DBC的内心在直线PQ上．=PC一QC．同理，AABC的内心也在直线Pp上．由等差幂线定理知PQ_l-CD．例5设D是锐角△ABC外接圆圆，例4凸四边形ABCD内接于圆，，与边’、’、／。、上弧BC的中点，点在弧BD上，E是弧ABXBC相交的一个圆与圆厂内切，且分别与，、的中点，Js是弧AC上一点，直线SD与BC交BD、AC切于点P、Q．证明：AA