第 11.3 节 矩阵对策的解法.ppt

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1、第11章对策论基础第3节矩阵对策的解法2021/7/282定理4设x*S1*,y*S2*,则(x*,y*)为G的解的充要条件是:存在数v,使得x*和y*分别是不等式组(1)和(2)的解,且v=VG。2021/7/283定理6设(x*,y*)是矩阵对策G的解,v=VG,则(1)若xi*>0,则(2)若yj*>0,则(3)若则xi*=0(4)若则yj*=0.2021/7/2843.1公式法、图解法和方程组法1.2×2对策的公式法2×2对策是指局中人Ⅰ的赢得矩阵为2×2阶的,即如果A有鞍点,则很快可求出各局中人的最优纯策略;如果A没有鞍点,则可证明各局中人最优混合策略中的xi*,yj*均大于零

2、。于是,由定理6可知,为求最优混合策略可求下列等式组:2021/7/285例12求解矩阵对策G={S1,S2;A},其中2021/7/2862.2×n或m×2对策的图解法2×n对策的解题步骤：（1）在直角坐标系中作直线I：x=0；II：x=1；（2）在直线I处按矩阵第2行的值标纵坐标，在直线II处按矩阵第1行的值标纵坐标；其意义是指当局中人一采用其中一个纯策略时，局中人二各策略相对应的赢得值；（3）按列的方向将各对应纵坐标值连成直线；（4）令0

3、线交点中纵坐标最小的点集(某些线段)，然后再从中找出纵坐标最大的点P所对应的横坐标即为所求；（5）确定经过点P的两相交直线，根据两相交直线列出对应方程组，求出x*.（6）根据定理6的结论计算y*的值。2021/7/287例13考虑矩阵对策G={S1,S2;A},其中2021/7/2882021/7/289如上图，由最小最大原则确定B点所对应的横坐标为所求，故联立经过该点的两条直线方程：即得x1*=3/11,x2*=8/11，又因它们均大于零，故由定理6又有：又因为2x1*+7x2*=62/11>v,所以又定理6的结果知y1*=0，从而由上述方程可解出y2*=9/11,y3*=2/11.20

4、21/7/28102.2×n或m×2对策的图解法m×2对策的解题步骤：（1）在直角坐标系(横坐标为y)中作直线I：y=0；II：y=1；（2）在直线I处按矩阵第2列的值标纵坐标，在直线II处按矩阵第1列的值标纵坐标；其意义是指当局中人二采用其中一个纯策略时，局中人一各策略相对应的赢得值；（3）按行的方向将各对应横坐标值连成直线；（4）令0

5、P的两相交直线，根据两相交直线列出对应方程组，求出y*.（6）根据定理6的结论计算x*的值。2021/7/2811例14用图解法求解矩阵对策G={S1,S2;A},其中2021/7/28122021/7/2813例15求解赢得矩阵A的矩阵对策2021/7/28142021/7/28153.线性方程组方法根据定理4,求解矩阵对策解(x*,y*)的问题等价于求解不等式组，又根据定理5和定理6,如果假设最优策略中的xi*和yj*均不为零,即可将上述两个不等式组的求解问题转化成求解下面两个方程组的问题:2021/7/28163.线性方程组方法例16求解矩阵对策——“齐王赛马”2021/7/2817例

6、17某厂用三种不同的设备1、2、3加工三种不同的产品1、2、3,已知三种设备分别加工三种产品时,单位时间内创造的价值由下表给出。使用设备被加工产品12313-242-14232262021/7/28183.2线性规划方法由定理5知,任一矩阵对策G={S1,S2;A}的求解均等价于一对互为对偶的线性规划问题,而定理4表明,对策G的解x*和y*等价于下面两个不等式组的解。其中就是对策的值VG。2021/7/2819定理11设矩阵对策G={S1,S2;A}的值为VG,则矩阵对策的线性规划方法作变换:xi=xi/v,i=1,⋯,m,则不等式组(1)变为2021/7/2820

7、根据定理11,不等式组(1)等价于以下线性规划问题:2021/7/2821同理,作变换yj=yj/v,j=1,⋯,n,则不等式组(2)变为与之等价的线性规划问题是:2021/7/2822例18利用线性规划方法求解赢得矩阵为A的矩阵对策。解：所求问题化为以下两个互为对偶的线性规划问题:2021/7/2823小结在求解一个矩阵对策时,应首先判断其是否具有鞍点,当鞍点不存在时,利用优超原则和定理7、定理8等提供的