分离函数法在解题中的应用.doc

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1、分离函数法在解题中的应用萍乡市教研室　曾建强解决形如类问题，通常利用分离参数法，将原式变形为变量各参数各在一边的或等形式，从而求解，已为熟知的解题通法．而有一些含参数的问题其中参数不能从代式中分离出来，或中常为含两个超越函数的关系，解决时于由于不同类超越函数不便不起变形化简研究性质，这就可尝试分离函数的方法来研究．所谓分离函数法，是指将同一关系中的两类不同函数(尤其是两不同超越函数)分离开来或把问题分离成(或)两类关系来分别处理的方法．分离函数法，主要是利用分离后的两函数的最值来解．分离函数方法是高中数学中“新兴”的一种解题方法，这里举几例以飨读者．例1　设函数．若，证明：．分析：不

2、等式两边是两个变量独立的函数和，如果把合成一个整体去解缺少必然的联系，而这里的函数已是分离的显式，故采用分离函数方法求解是一可行的思路。证明：．由于，则．所以，．例2　证明：，时，．分析：将不等式左边看成是一个函数，至少要求二阶导数才有可能确定它的值域，而事实上仍很困难．如果将一个函数分离成两个函数，解决求导产生的难点，也是处理问题的一策．这种化整体为多个体的策略，有时还很凑效．证明：要证原式，通过分离函数，即证…………①．当时，显然①式成立．当时，的导数，易得．而的最大值为．由于，有，故时．所以，原不等式成立．例2　(2014年全国高考Ⅰ)设函数，曲线在点（1，）处的切线为.（Ⅰ）

3、求；(解略．)（Ⅱ）证明：.分析：由于是由两个不同的超越函数复合而成的函数，多次求导都不可能消去，由于运算不能化简，从而难已达到目的；若对的一阶导数提出构造局部函数，可求性增大．然而，将分离成成两个各只含的函数，避开运算不能化简的困境，分别研究它们的性质，问题就会简单得多．证明：（Ⅱ）由(Ⅰ)知，，通过分离函数，等价于．设函数，则，易得在上的最小值为.设函数，则，易得在的最大值为.综上，当时，，即.例3　已知函数，．（Ⅰ）当时，求函数的最小值；(最小值为解略．)（Ⅱ）若，，求的取值范围．(2016萍乡市三模原创题)分析：表面上看，已是两个不同函数，但中含式不便于运算化简，故重新分离出

4、两个各只含的函数，就能破难而解．解：（Ⅱ），，分离函数后即.时，令．等价于．（1）．令，，时故函数为增函数，即为增函数．由于，所以，存在使所以，在上是减函数，在上是增函数．且有（2）．，．①当时，，此时为增函数．故最小值为，故时，恒有．②若时，，故在上，此时为增函数；在上，此时为减函数．由于，，，故时，恒有．③当时，恒成立，故为减函数；所以的最小值为．(i)当，，故时不可能恒有．(ii)若，，故时，恒有．综上可知，若，，的取值范围为．例4　设函数，，曲线在处的切线为直线．已知直线过点，且．（Ⅰ）求常数的值；(，，解略．)（Ⅱ）当时，证明：对任意都有．(2015萍乡市三模原创题)分析：

5、将分离参数为后，整体研究函数有一定难度，若将它分离成两个各只含的两个函数之差，也不失不一法．证明：（Ⅱ），即，即．利用分离函数法，令．，故时，即在上为增函数；当时，即在上为减函数．所以，当时，．，当时，，∴在上为增函数,在上为减函数．,,又∴，∴，∵，∴.故当时，对任意都有，即都有．函数分离法，较适合不同类超越函数基本性质的研究．理论上讲，若两类函数在一定范围内的上确界，下确界存在明显的分界点，用分离函数以便于化简运算，常能凑效．