利用坐标旋转分析圆锥曲线1.docx

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1、利用坐标旋转分析圆锥曲线1分析思路1第一步C=0（平面和z轴平行）2第二步对坐标系第一次旋转使平面和新x轴平行3xy平面旋转3第一次旋转后分析（投影分析）4D≠0时5D=0时7结论（平面与锥面在xy面上投影的形状）7第三步对坐标系第二次旋转使平面和新xy面平行9平面方程9锥面方程9曲线方程10分析101011利用矩阵辅助分析14坐标旋转14坐标旋转后的平面方程和锥面方程15交线方程16分析18D=018D不等于019结论20利用坐标旋转分析圆锥曲线将坐标旋转应用到圆锥曲线分析的问题上分析思路第一步，分析平面和z轴平行的情况，这种情况最简单。再根据D是否等于零来分类，也就是根据

2、平面是否过原点进行分类。第二步，考虑一般平面，也就是和z轴不平行的平面，分析思路是将这个坐标系旋转，让平面和x轴或y周平行，这样并不改变分析结果，会使分析变得十分方便。此时可分析曲线投影的形状。第三步再次旋转坐标系，让平面和坐标面平行。分析曲线的形状。然后再根据D是否等于零来分类，也就是根据平面是否过原点进行分类。最后可以借助矩阵，使运算变得规整美观。第一步C=0（平面和z轴平行）C=0：A或B=0：A，B≠0：第二步对坐标系第一次旋转使平面和新x轴平行C≠0：这个形式不便于分析xy平面旋转C，D≠0如果A或B有一个为零则不需要旋转。平面与xy面的相交，交线方程为这条直线的斜

3、率为：它与x轴正方向的夹角为，它与x轴负方向的夹角为，此时把xy坐标轴顺时针转，直线将与新的X轴平行，直线方程形式为Y=Constant。新坐标轴为XY，xy顺时针旋转可以得到新坐标轴XY这个地方可以借助复数乘法来理解，坐标顺时针转，相当于向量逆时针转代入正如先前分析的，直线在新的坐标系下与X轴平行将同样的变换作用在平面方程和锥面方程上此时平面方程变为第一次旋转后分析（投影分析）这是交线在xy平面上的投影，先分析这个投影。一次项只是一个平移，不影响曲线形状C2K2>0D≠0时时很明显如果A=B=0这是一个圆的方程时这是抛物线时这是双曲线对于没有旋转的平面的情况，结果应该不变D

4、=0时结论（平面与锥面在xy面上投影的形状）在圆锥曲线中，圆是椭圆的特例，它们的极限小情况都是一个点。抛物线，是当平面Ax+By+Cz+D=0平行于圆锥母线时产生的，当母线刚好落在平面内，抛物线蜕化为两条重合的直线双曲线，在上下两个锥面上切出两段曲线，它们就是双曲线。它的极限特例是两条相交直线。可见抛物线是椭圆和双曲线的分水岭，是一种非常特殊的情况。第三步对坐标系第二次旋转使平面和新xy面平行通过第二步计算，第一次旋转后平面方程为再旋转Yz平面，使平面与Y轴平行，方法同上平面方程锥面方程曲线方程分析分析结果与前面投影相同标准形式为，把Y’换成Y，为了好看D=0：两条重合直线D

5、≠0：抛物线无论还是以下的推导都成立。把Y’换成Y，为了好看D=0，：两相交直线：一个点(X,Y)=(0,0)D≠0，：椭圆特别的当A=B=0：曲线为原：双曲线利用矩阵辅助分析坐标旋转两次旋转的矩阵为T1和T2，整体上的旋转矩阵为T=T1T2第一次旋转，原始坐标=T1*新坐标1，让平面在xoy上的交线与X1轴平行扩到三维第二次变换，新坐标1=T2*新坐标，让平面与Y1OZ1的交线与Y1平行加下标因此坐标旋转后的平面方程和锥面方程平面方程为其中平面方程变为锥面方程为锥面方程变为交线方程再把新的平面方程代入锥面方程得，整理整理成标准形式这样就可以了。然后如上面那样加以讨论就可以了

6、。分析D=0D=0，一个点D=0，两条线D=0，一条线D不等于0圆或者椭圆如果是圆，那么带入公式计算直接求抛物线双曲线结论在圆锥曲线中，圆是椭圆的特例，它们的极限小情况都是一个点。抛物线，是当平面Ax+By+Cz+D=0平行于圆锥母线时产生的，当母线刚好落在平面内，抛物线蜕化为两条重合的直线双曲线，在上下两个锥面上切出两段曲线，它们就是双曲线。它的极限特例是两条相交直线。可见抛物线是椭圆和双曲线的分水岭，是一种非常特殊的情况。形式规整了，借助matlab的矩阵运算运算量相对减少。