柯西不等式与排序不等式（习题课）.ppt

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1、§柯西不等式与排序不等式（习题课）第三讲　柯西不等式与排序不等式(ac＋bd)2知识回顾

2、ac＋bd

3、

4、ac

5、＋

6、bd

7、

8、α·β

9、≤

10、α

11、

12、β

13、α－β＝λ(β－γ)(λ＞0)(a1b1＋a2b2＋a3b3)2b1＝b2＝b3＝0或存在一个数k，使得a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3(a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn)2bi＝0(i＝1,2,3，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)1．顺序和、乱序和、反序和的概念设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一

14、排列，则称ai与bi(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和为顺序和，和为乱序和，相反顺序相乘所得积的和为反序和．a1b1＋a2b2＋…＋anbna1c1＋a2c2＋…＋ancna1bn＋a2bn－1＋…＋anb1排序不等式2．排序不等式(排序原理)设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则≤≤，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和，此不等式简记为≤≤顺序和．a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1a1c1＋a2c2＋…＋ancna1b1＋a2b2＋…＋anbn反序

15、和乱序和规律方法二维形式的柯西不等式可以理解为四个数对应的一种不等关系，对谁与谁组合是有顺序的，不是任意的搭配，因此要仔细体会，加强记忆．例如，(a2＋b2)·(d2＋c2)≥(ac＋bd)2是错误的，而应有(a2＋b2)(d2＋c2)≥(ad＋bc)2.B规律方法利用柯西不等式求最值①先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；②有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；③而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一

16、次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．课堂小结