高中数学2.2.3向量数乘运算及其几何意义课件新课标人教A版必修4.ppt

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1、2.2.3向量数乘运算及其几何意义问题提出1.如何求作两个非零向量的和向量、差向量？2.相同的几个数相加可以转化为数乘运算，如3＋3＋3＋3＋3=5×3=15.类似地,相等的几个向量相加是否也能转化为数乘运算呢？现在我们就探究这个问题.abaabba+ba-b－a－a－a探究一：向量的数乘运算及其几何意义思考1：已知非零向量a，如何求作向量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋（－a）？aOaABCOMNPa＋a＋a（－a）＋（－a）＋（－a）aa思考2：向量3a和－3a与向量a的大小和方向有什么关系？aaOaaABC－a－a－

2、aOMNP的长度是的3倍,方向与同向.的长度是的3倍,方向与异向.思考3：设a为非零向量，那么a和a还是向量吗？它们分别与向量a有什么关系？aaa定义：一般地，我们规定：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作λa，其长度与方向规定如下:（1）

3、λa

4、=

5、λ

6、

7、a

8、；（2）λ>0时,λa与a方向相同；λ<0时,λa与a方向相反；λ=0时,λa=0.练习:如图，设点M为△ABC的重心，D为BC的中点，那么向量与，与分别有什么关系？ABCDM探究二:向量的数乘运算性质一.数乘向量的运算律设λ，μ为实数，则特别

9、地思考1：对于非零向量a（a≠0）和向量b，若存在实数λ，使b=λa，则向量a与b的方向有什么关系？它们共线吗?思考2：若非零向量a（a≠0）与b共线，则一定存在实数λ，使b=λa成立吗？共线向量定理：非零向量a（a≠0）与向量b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa.作用:判定向量是否共线和判定点共线思考1：若存在实数λ，使，则A、B、C三点的位置关系如何？思考2：如图，若P为AB的中点，则与、的关系如何？ABPO这是用向量证明三点共线的方法!这是中点的向量式!P是AB的中点定义：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线

10、性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、x、y，恒有:λ(xa±yb）=λxa±λyb.2b3babO例2如图，已知任意两个非零向量a，b，试作=a＋b，=a＋2b，=a＋3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？abABC例1.计算:例2.判定对错.例3.在△ABC中,若点D满足,则例4.已知非零向量不共线.(1)如果求证:A,B,D三点共线.(2)欲使和共线,试确定实数k的值.已知不共线,若则常用结论例5如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且=a，=b，试用a,b表示向量、、、MABDCab

11、练习:如图,已知ABCD的边BC,CD上的中点分别为K,L,且,试用表示.KDCBAL例6.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,(1)用表示向量(2)求证:B,E,F三点共线.DCBAEF小结作业1.实数与向量可以相乘，其积仍是向量，但实数与向量不能相加、相减.实数除以向量没有意义，向量除以非零实数就是数乘向量.2.若λa=0，则可能有λ=0，也可能有a=0.3.向量的数乘运算律，不是规定，而是可以证明的结论.向量共线定理是平面几何中证明三点共线，直线平行，线段数量关系的理论依据.作业：P90练习：3，4，5

12、，6.