函数的连续性.ppt

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1、第二章极限与连续2.1数列极限2.2函数极限极限的基本性质2.3无穷大与无穷小2.4极限的运算法则与复合函数的极限2.5极限存在定理与两个重要的极限2.6函数连续性1§2.6函数连续性21.函数的改变量(增量)34举例例1设函数，求下列自变量与函数的改变量。（1）自变量由2变到2．01；（2）自变量由2变到1．99；解：（1）（2）5(1)定义观察下列函数图形，分析它们有何特征？O结论：左图在处是连续的，右图在处是间断的。用什么式子描述？?6(1)定义O当趋向于0时，也趋向于0.即当趋向于0时，不趋向于0.即7(1)定义定义1

2、设函数在点的某个邻域内有定义，在点处给自变量一个增量，相应的函数的增量为，如果，则称函数在点处连续，称为函数的连续点。否则，称函数在处间断，称为函数的间断点。8等价定义函数在点处连续必须满足下面三个条件：函数在点处有定义，即有意义；函数在点处有极限，即存在；函数在点处的极限值等于函数值，即(1)定义9证法一：(2)举例例2用定义证明在处连续．给处以改变量，则相应函数的改变量为证法二：所以函数在处连续。因为，所以函数在处连续因为思考：能否证明上述函数在某一点处连续？103、左右连续定义2结论设函数在点的某个左邻域内有定义，如果则

3、称函数在点处左连续；设函数在点的某个右邻域内有定义，如果，则称函数在点处右连续。用于讨论分段函数在分段点的连续性函数在点处连续的充要条件是函数在点处既左连续又右连续，即113.左右连续举例例3解：12解：3.左右连续举例例413定义314思考：如何定义半开半闭区间上的连续函数呢？15利用连续函数的定义和极限的四则运算法则，易知：16（1）极限符号可与连续函数符号交换顺序.（2）(*)式可推广到内层函数有极限，外层函数在极限值点处连续的情形.17解：例5举例183.函数连续性的重要结论：连续函数的反函数是连续函数；2.基本初等函

4、数在它们的定义域内都是连续的；3.初等函数在其定义区间内都是连续的。常数函数、指、三、幂、对、反定义域是由一个区间或者有限个区间构成，但是定义域不仅包括区间（这个区间就是定义区间！），还包含一些离散点（孤立点），在这些离散点处，函数是不连续的，那么就说初等函数在定义域不连续而只在定义区间是连续的。19解：所以函数在内连续，即函数的连续区间为要函数有意义，须即得例6举例初等函数在其有定义的区间内连续。可用于计算极限见P68例2.2620举例例7解：21例7举例22设函数在点处不连续，则称为函数的间断点。函数在点处无定义，即无意义

5、；函数在点处无极限，即不存在；函数在点处的极限值与函数值不相等，即一般来说，对于初等函数而言，间断点就是没有定义的点；对于分段函数来说，除了每个子区间考虑是否有定义外，还需考虑分段点是否连续。如果函数有下列三种情形之一，点就是函数的间断点或不连续点。23函数的间断点第一类间断点第二类间断点跳跃可去无穷其它24左、右极限存在但不相等的间断点,称为函数的跳跃间断点.25跳跃型间断点可去间断点第一类间断点左右极限均存在左右极限不相等左右极限相等2627无穷型间断点其它间断点第二类间断点左右极限至少有一个不存在左右极限至少有一个为无穷

6、28解：举例例8求下列各函数的间断点，并指明间断点的类型。29举例301.1函数课堂练习求函数的间断点与连续区间。求函数的间断点与连续区间。间断点连续区间间断点连续区间31最值定理闭区间上的连续函数必有最大值与最小值。M介值定理baOm如果和是闭区间上的连续函数的最大值和最小值，则对介于和之间的任一实数，至少存在一点，使得。c四、闭区间上连续函数的性质32零点定理baO．．．闭区间上连续函数的性质方程根的存在性定理33证明：例9证明方程在区间内至少存在一个根．令函数，则函数在闭区间上连续，所以至少存在一点，使得举例证明步骤：(

7、1)根据题意找函数f(x)=方程的左端-右端及相应的区间[a,b]；(2)验证条件(3)根据零点定理得结论34课堂练习证明方程在0与2之间至少有一个实根。35经济数学作业练习册11页12页1.1函数36（1）极限符号可与连续函数符号交换顺序.（2）内层函数有极限，外层函数在极限值点处连续推论复合函数连续性定理37函数连续性的重要结论：1.连续函数的反函数是连续函数；2.由连续函数复合而成的复合函数也是连续函数；3.基本初等函数在它们的定义域内都是连续的；4.初等函数在其定义区间内都是连续的。注意两者的区别！例子常数函数、反、对

8、、幂、指、三幂指函数38xy11Oxy11O39连续性给极限运算带来很大方便.4041小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;2.区间上的连续函数;3.间断点的分类与判别;间断点第一类间断点:可去，跳跃.第二类间断点:无穷，振荡.(见下图)42第一类间断点oyx可去型o