2007数学竞赛试题.doc

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1、“《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了代号为a，b，c，d的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填得零分）1．方程组的解的个数为（）．（a）1（b）2（c）3（d）4答：（a）．解：若≥0，则于是，显然不可能．若，则于是，解得，进而求得．所以，原方程组的解为只有1个解．故选（a）．2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多

2、于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（）．（a）14（b）16（c）18（d）20答：（b）．解：用枚举法：红球个数白球个数黑球个数种数52，3，4，53，2，1，0443，4，5，63，2，1，0434，5，6，73，2，1，0425，6，7，83，2，1，04所以，共16种．故选（b）．3．已知△为锐角三角形，⊙经过点b，c，且与边ab，ac分别相交于点d，e．若⊙的半径与△的外接圆的半径相等，则⊙一定经过△的（）．（a）内心（b）外心（c）重心（d）垂心答：（b）．解：如图，连接be，因

3、为△为锐角三角形，所以，均为锐角．又因为⊙的半径与△的外接圆的半径相等，且为两圆的公共弦，所以．于是，．（第3题答案图）若△的外心为，则，所以，⊙一定过△的外心．故选（b）．4．已知三个关于x的一元二次方程，，恰有一个公共实数根，则的值为（）．（a）0（b）1（c）2（d）3答：（d）．解：设是它们的一个公共实数根，则，，． 把上面三个式子相加，并整理得．因为，所以．于是．故选（d）．5．方程的整数解（x，y）的个数是（）．（a）0（b）1（c）3（d）无穷多答：（a）．解：原方程可化为，因为三个连续整数的乘积是3的

4、倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．所以，原方程无整数解．故选(a).二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．如图，在直角三角形abc中，，ca＝4．点p是半圆弧ac的中点，连接bp，线段bp把图形apcb分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是．答：4．解：如图，设ac与bp相交于点d，点d关于圆心o的对称点记为点e，线段bp把图形apcb分成两部分，这两部分面积之差的绝对值是△bep的面积，即△bop面积的两倍．而（第6题答案图）．因此，这两部分面积之差的绝对值是4．7．如图,

5、点a，c都在函数的图象上，点b，d都在轴上，且使得△oab，△bcd都是等边三角形，则点d的坐标为．答：（，0）．（第7题答案图）解：如图，分别过点a，c作x轴的垂线，垂足分别为e，f．设oe＝a，bf＝b，则ae＝，cf＝，所以，点a，c的坐标为（，），（2＋b，），所以解得因此，点d的坐标为（，0）．8．已知点a，b的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数的图象与线段ab恰有一个交点，则的取值范围是．答：≤，或者．解：分两种情况：（ⅰ）因为二次函数的图象与线段ab只有一个交点，且点a，b的坐标分别为（1，0

6、），（2，0），所以，得．由，得，此时，，符合题意；由，得，此时，，不符合题意．（ⅱ）令，由判别式，得．当时，，不合题意；当时，，符合题意．综上所述，的取值范围是≤，或者．9．如图，，则n＝．答：6．解：如图，设af与bg相交于点q，则，于是（第9题答案图）．所以，n＝6．10．已知对于任意正整数n，都有，则．答：．解：当≥2时，有，，两式相减，得，所以因此．三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11（a）．已知点m，n的坐标分别为（0，1），（0，－1），点p是抛物线上的一个动点．（1）判断以点p为圆心，p

7、m为半径的圆与直线的位置关系；（2）设直线pm与抛物线的另一个交点为点q，连接np，nq，求证：．解：（1）设点p的坐标为，则pm＝;又因为点p到直线的距离为，所以，以点p为圆心，pm为半径的圆与直线相切．…………5分（第11a题答案图）（2）如图，分别过点p，q作直线的垂线，垂足分别为h，r．由（1）知，ph＝pm，同理可得，qm＝qr．因为ph，mn，qr都垂直于直线，所以，ph∥mn∥qr，于是，所以，因此，rt△∽rt△．于是，从而．…………15分12（a）．已知a，b都是正整数，试问关于x的方程是否有两个整

8、数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明.解：不妨设≤b，且方程的两个整数根为(≤)，则有所以，.…………5分因为,b都是正整数，所以x1，x2均是正整数，于是，≥0,≥0，≥1,≥1，所以或（1）当时，由于a,b都是正整数，且≤b，可得a＝1，b＝3，此时，一元二次方程为，它的两个根为，．（2）当时，可得a＝1，b＝1，此时，一元二