2007年全国数学竞赛模拟试题(一)

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1、2007年全国数学竞赛模拟试题(一)一、选择题1.已知有理数x、y、z两两不等，则中负数的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.把10个相同的小正方体按如图的位置堆放，他的外表会有若干个小正方形，如果将图中表有字母P的一个小正方体搬去，这时外表含有的小正方形的个数与搬动前相比（）A.不增不减B.减少1个C.减少2个D.减少3个PABCD第6题第5题第3题第2题3.一椭圆形地块，打算分A、B、C、D四个局域栽种观赏植物，要求同一种区域种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现在有4种不同的植物可供选择，那

2、么所有的种栽方案的个数为（）A.66B.72C.60D.844.甲乙两人轮流在黑板上写下不超过10的自然数，规定禁止在黑板上写下已经写过的数的约数，最后不能写得为失败者，如果甲写第一个，甲要必胜，甲应写数字（）A.10B.9C.8D.65.如图,边长为12m的正方形池塘的周围是草地,池塘边处各有一棵树,且3m.现用长4m的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上,为了使羊在草地上活动区域的面积最大,应将绳子拴在（）A.处B.处C.处D.处6.某台球桌为如图所示的长方形,小球从沿角击出,恰好经过5次碰撞到达处.则等于（）

3、A.1:2B.2:3C.2:5D.3:57.对于方程,共有几对整数解（）A.0B.1C.3D.58.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2和m，圆心距为n，且2和m都是方程x2-10x+n=0的两根，则两圆的位置关系是(　)A.相交　　　　B.外离　　　C.内切　　　　D.外切二、填空题9.若，，并且有正整数满足，则．-3-10.已知、是实数且满足，设M=，则M的取值范围是．11.只用圆规度量∠XOY的度数，方法是：以顶点O为圆心任意画一个圆，与角的两边分别交于点A，B（如图），在这个圆上顺次截取,这样绕着圆一周周

4、地截下去，直到绕第n周时，终于使第m次截得的弧的末端恰好与点A重合（m>n），那么∠XOY的度数等于.12．两个任意大小的正方形，都可以适当剪开，拼成一个较大的正方形，如用两个边长分别为a，b的正方形拼成一个大正方形.图中Rt△ABC的斜边AB的长等于（用a，b的代数式表示）.13.如图，正方形ABCD的边长为1，点M、N分别为BC、CD上的动点，且满足△CMN的周长为2，则∠MAN＝_______度.第11题第12题第13题14.在直角坐标系中有三点A(0,-1),B(1,3)C(2,6).已知直线y=ax

5、+b上横坐标为0，1，2的点分别为D，E，F，试求a,b的值使.三、解答题15.物体受重力作用的作用点叫做这个物体的重心.例如一根均匀的棒，重心是棒的中点，一块均匀的三角形木板，重心就是这个三角形三条中线的交点，等等.（1）你认为平行四边形的重心位置在哪里？请说明理由；（2）现有如图的一块均匀模板，请只用直尺和铅笔，画出它的重心（直尺上没有刻度，而且不允许用铅笔在直尺上做记号）.-3-16.汽车零售商（以下分别简称甲、乙）向某品牌汽车生产厂订购一批汽车，甲开始订购的汽车数量是乙订购数量的3倍，后来由于某种原因

6、，甲从其所定的汽车中转让给乙6辆，在提车时，生产厂所提供的汽车比甲、乙所订购的总数少了6辆，最后甲所购汽车的数量是乙所购的2倍.试问：甲、乙最后所购的汽车总数至多是多少辆？又至少是多少辆？17.如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G.（1）当点P在上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）如果△PGH是直角三角形，试求OG∶PG∶HG的值；（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线

7、段PH的长。18.如图,在直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(1,0),点B在x轴上且在A点的右侧,OA=AB,分别过点A、B作x轴的垂线,与二次函数的图象交于C、D两点,分别作y轴的垂线,交y轴于点E、F,直线CD交y轴于点H.(1)验证:.(2)如果点A的坐标改为(t,0)(t>0),其它条件不变,(1)题的结论是否仍然成立?请说明理由.(3)如果点A的坐标改为(t,0)(t>0),二次函数改为(a>0),其它条件不变,记点C、D的横坐标分别为，点H的坐标记为.试证明:.-3-