2007年全国初中数学竞赛试题.doc

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1、襄阳市第47中学九年级数学组（★中国教育学会中学数学教学专业委员会2007年全国初中数学竞赛试题★）中国教育学会中学数学教学专业委员会2007年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填得零分）1．方程组的解的个数为（）．（A）1（B）2（C）3（D）42．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不

2、多于3个，那么上述取法的种数是（）．（A）14（B）16（C）18（D）203．已知△为锐角三角形，⊙经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E．若⊙的半径与△的外接圆的半径相等，则⊙一定经过△的（）．（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心4．已知三个关于x的一元二次方程，，恰有一个公共实数根，则的值为（）．（A）0（B）1（C）2（D）35．方程的整数解（x，y）的个数是（）．（A）0（B）1（C）3（D）无穷多二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．如图，在直角三角形ABC中，，CA＝4．点P是半圆弧AC的中点，连

3、接BP，线段BP把图形APCB分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是．（此图已作辅助线，原题没有，仅作为参考）7．如图,点A，C都在函数的图象上，点B，D都在轴上，且使得△OAB，△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为．（第9题）（第7题）8．已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数的图象与线段AB恰有一个交点，则的取值范围是．9．如图，，则n＝．10．已知对于任意正整数n，都有，则7襄阳市第47中学九年级数学组（★中国教育学会中学数学教学专业委员会2007年全国初中数学竞赛试题★）．三、解答题（共4题，每小题15分

4、，满分60分）11（A）．已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P是抛物线上的一个动点．（1）判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线的位置关系；（2）设直线PM与抛物线的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：．（此图已作辅助线，原题没有，仅作为参考）12（A）．已知a，b都是正整数，试问关于x的方程是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明.13（A）．已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点．以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆

5、O相交于点D，且线段CD的中点为M．求证：MP分别与⊙A和⊙B相切．（此图已作辅助线，原题没有，仅作为参考）14（A）．（1）是否存在正整数m，n，使得？（2）设(≥3)是给定的正整数，是否存在正整数m，n，使得7襄阳市第47中学九年级数学组（★中国教育学会中学数学教学专业委员会2007年全国初中数学竞赛试题★）11（B）．已知抛物线：和抛物线：相交于A，B两点.点P在抛物线上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线上，也位于点A和点B之间.（1）求线段AB的长；（2）当PQ∥y轴时，求PQ长度的最大值．12（B）．实数a，b，c满足a≤b

6、≤c，且，abc＝1．求最大的实数k，使得不等式≥恒成立．13（B）．如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且满足．若，的延长线相交于点，△的外接圆与△的外接圆的另一个交点为点，连接PA，PB，PC，PD．求证：（1）；（2）△∽△．．（此图已作辅助线，原题没有，仅作为参考）14（B）．证明：对任意三角形，一定存在两条边，它们的长u，v满足1≤．7襄阳市第47中学九年级数学组（★中国教育学会中学数学教学专业委员会2007年全国初中数学竞赛试题★）中国教育学会中学数学教学专业委员会2007年全国初中数学竞赛试题参考答

7、案一、选择题1、A2、B3、B4、D5、A二、填空题6、47、（，0）8、≤，或者9、610、三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11（A）、解：（1）设点P的坐标为，则PM＝;又因为点P到直线的距离为，（第11A题答案图）所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线相切．…………5分（2）如图，分别过点P，Q作直线的垂线，垂足分别为H，R．由（1）知，PH＝PM，同理可得，QM＝QR．因为PH，MN，QR都垂直于直线，所以，PH∥MN∥QR，于是，所以，因此，Rt△∽Rt△．于是，从而．…………15分12（A）、解：不妨设≤b，

8、且方程的两个整数根为(≤)，则有所以，.…………5分因为,b都是正整数，所以x1，x2均是正整数，于是，≥0,≥0，≥1,≥1，所以或（1）当时，由于a,b都是正整数，且≤b，可得a＝1，b＝3，此时，一元