刚体定轴转动动力学.doc

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1、５　刚体定轴转动动力学学习指导1．重点：刚体定轴转动定律；角动量守恒。2．难点；角动量定理；角动量守恒。3．解题指导：刚体定轴转动问题有以下几种类型：（1）刚体定轴转动的运动学问题（a）如果β为恒量，即刚体作匀变速转动，则可直接用匀变速转动方程求解。（b）如果β为变量，即刚体作非匀变速转动，则可利用微分方程求解：（2）运用转动定律求解刚体定轴转动的动力学问题转动定律M=Jβ在研究刚体定轴转动的动力学问题的地位相当于质点动力学中的牛顿第二定律F=ma.M----合外力矩F-----合外力如果是一个由刚体和质点组

2、成的系统，在解题时可按如下步骤进行：（a）对刚体根据M=Jβ列方程；（b）对质点根据F=ma列方程;（c）再根据线量与角量的关系列出补充方程（3）运用角动量的知识求解刚体定轴转动的动力学问题有些问题用角动量定理来解能使问题简化使用时注意：（a）M----是合力矩。（b）计算时应先规定正方向，这里力矩和角速度的方向都沿轴向，或同向，或反向。*角动量守恒是本章的一个重点内容，使用时，首先应先判断角动量是否守恒，条件是合外力矩为零，在列角动量守恒方程时也应先规定一个转动正方向。注：有的同学常常把角动量守恒方程列为动

3、量守恒方程，说明头脑中还没有建立起角动量的概念，思维还停留在质点力学，在研究刚体的定轴转动中，引入角动量这个物理量更能简洁方便地揭示运动规律。（4）综合类型题在作综合题时，除了会应用以上公式和定律，当系统只有保守力矩作功时，还应想到机械能守恒。4．例题分析例1：质量为5Kg的一桶水悬于绕在辘轳上的绳子下端，辘轳可视唯一质量为10Kg的圆柱体。桶从井口由静止释放，求桶下落过程中的张力。辘轳绕轴转动时的转动惯量为J,其中M和R分别为辘轳的质量和半径，摩擦忽略不计。解：对水桶和圆柱形辘轳分别用牛顿运动定律和转动定律

4、列方程mg-T=maTR=Jβa=Rβ由此可得那么将代入上式得例2：一半径为25cm的圆柱体，可能与其中心轴线重合的光滑固定轴转动，圆柱体上绕上绳子，圆柱体初角速度为零，现拉绳的端点，使其以a的加速度运动，绳与园柱表面无相对滑动，试计算在t=5s时（1）圆柱体的角加速度；（2）圆柱体的角速度；（3）如果圆柱体对转轴的转动惯量为J，那么要保持上述角加速度不变应加的拉力为多少？解：(1)根据a=rβ(2)根据匀变速转动方程那么圆柱体的角速度(3)根据转动定律fr=Jβ,则例3：如图所示，转轮A.B可分别独立地绕光

5、滑的o轴转动，它们的质量已知，现用力分别拉绕在轮上的细绳且使绳与轮之间无滑动，为使A.B轮边缘处的切向加速度相同，相应的拉力之比为多少？解：根据转动定律要使A.B轮边上的切向加速度相同，应有例4：一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端的竖直固定光滑轴转动，棒的质量为M=1.5kg,长度为L=1.0m，对轴的转动惯量为J，初始时棒静止，今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端，并留在棒中，如图所示，子弹的质量为m=0.020kg，速率为试问：（1）棒开始和子弹一起转动是角速度有多大？(2)若棒转动时受一

6、恒定阻力矩作用，棒能转过多大角度？解：（1）角动量守恒：(2)转动定律：棒作匀变速转动：例5：一质量均匀分布的圆盘，质量为M，转动惯量为J,半径为R，放在一粗糙水平面上，圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动，开始时，圆盘静止，一质量为m的子弹一水平速度v垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求:(1)子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度。(2)经过多少时间后，圆盘停止转动。(忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩)解：（1）以子弹和圆盘为系统，在子弹击中圆盘过程中，对轴的角动量守恒，（1）在圆盘上取一面元，半径为r,

7、宽度为dr,设σ为面密度，即单位面积的质量，则该面积元的质量为:该面元所受的阻力为：该面元所受的阻力矩为：则圆盘所受的阻力矩为：例6：有一质量为M，长为L的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为μ的水平桌面上，它可绕通过其端点o且与桌面垂直的固定光滑轴转动，另有一水平运动的质量为m的小滑快，从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞，设碰撞时间极短。已知小滑快在碰撞前后的速度，如图所示，求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需要的时间。已知棒绕点的转动惯量为J.解：对棒和滑块系统，在碰撞过程中，由于碰撞时间极短，所以棒

8、所受的摩擦力矩远远小于滑块的冲力矩，故可认为合外力矩为零，因而系统的角动量守恒，即：碰后棒在摩擦力矩的作用下减速转动，下面求棒的摩擦力矩，首先在棒上取微元dx,质量为dM，所受的摩擦力为df,则，则棒所受摩擦力矩为：由角动量定理得，