非线性物理2-2流体的不稳定性、洛伦兹方程、李雅普诺夫指数、埃侬吸引子、洛伦兹吸引子.ppt

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1、第二章分岔与奇怪吸引子第三节流体不稳定性与洛伦兹方程1.流体中的不稳定性2.洛伦兹方程解的分岔1900年,法国科学家贝纳德(E.Benard)做了一个著名的对流实验.1.流体中的不稳定性在一水平容器中放一薄层液体，从底部徐徐均匀地加热，开始液体没有任何宏观的运动。当上下温差达到一定的程度，液体中突然出现规则的六边形对流图案。照片中每个小六角形中心较暗处液块向上浮，边缘较暗处液块向下沉。当上下温差加大时，为什么对流不积微渐著，而是突然从无到有地产生?贝纳德对流当上下温差加大时，对流突然从无到有产生。贝纳德图案是对流与抑止因素(黏性和热扩散)竞争的结果。这是现代用硅油

2、做实验拍摄的照片。贝纳德对流实验理想装置：两块平行平板中间充满液体，y方向无限伸展，下底加热。现象：实验时，下面板均匀缓慢地加热，上下平板之间出现温差。平板间的液体开始是静止的，当加热到一定程度时，液体开始翻动，出现对流现象。发生翻动对流时会形成一种象蛋卷一样很规则的图形，温差进一步增加时，规则的对流图形将受到破坏，进入到湍流状态。分析：随温度上升，流体经历由稳定到不稳定再到新的稳定态的分岔过程。1.流体中的不稳定性瑞利数1916年，英国学者瑞利对贝纳德实验作了解释。认为是浮力和粘滞力间的关系决定液体向上运动。由此定义了一个无量纲参数R(瑞利数)：g-为重力加速度，

3、a-为热胀系数，d-两块板间距，h-粘滞系数，DT-扩散系数。瑞利数R与温度差成正比，温度差加大时R值增加，有一临界值RC，当R超过RC时，流体出现翻动与对流，称为贝纳德不稳定性。临界值RC为：其中k是x方向环流波数。1.流体中的不稳定性倍周期分岔的实验检验从分岔观点看，平板间液体随着温差升高出现的从静止到对流也是一种分岔现象。带着这样观点利布沙伯(Libchaber-低温物理学家)于1980年用液氦重做了贝纳德对流实验。实验装置：一个很小的不锈钢液氦的容器，其尺寸为3mm1.5mm1.25mm。用高纯度铜做容器的底板，容器盖是用兰宝石做的，在兰宝石上嵌入两个精

4、巧的温度计，用以监视两点的温度。容器中的液氦对温度非常敏感，上下液面千分之一的温差出现对流。对流发生时液氦在中心升起，往两侧分流沿腔壁下降形成两个对流圈。1.流体中的不稳定性利布沙伯通过对液氦对流信息的分析,发现开始时只有对流翻动频率为f的基波峰，相应两个对流圈翻动。随着瑞利数增大，在功率谱出现基波频率一半的倍周期(f/2)谐波，接着又出现f/4、f/8…等次谐波。实验结果显然是倍周期分岔现象。倍周期分岔的实验检验1.流体中的不稳定性倍周期分岔普遍性利布沙伯的实验结果证明,倍周期分岔不仅在平方映射中存在，而且在真实的物理学系统中也会出现。后来,人们相继在LCR振荡、

5、激光振荡、化学反应等许多过程中都发现了倍周期分岔现象，这表明倍周期分岔是存在于许多动力学过程中的一种普遍现象。1.流体中的不稳定性洛伦兹的设想2.洛伦兹方程洛伦兹的设想60年代初，美国数学家洛伦兹(E.Lorenz)在气象部门工作。他把将大气对流与贝纳德液体对流联系起来，想用数值方法进行长期天气预报。2.洛伦兹方程洛伦兹方程洛伦兹从贝纳德对流出发，利用流体力学中的纳维叶-斯托克斯(Navier-Stokes)方程、热传导方程和连续性方程，推导出描述大气对流的微分方程，即著名的洛伦兹方程。x-对流的翻动速率;y-比例于上流与下流液体之间的温差;z-是垂直方向的温度梯度

6、;s-无量纲因子,称为Prandtl数;b-速度阻尼常数;r-相对瑞利数r=R/RC2.洛伦兹方程洛伦兹方程解的分岔2.洛伦兹方程洛伦兹方程有三个平衡点若r<1，只存在一个平衡点x=y=z=0。此平衡点是洛伦兹方程的不动点，相应于贝纳尔德实验中液体的静止状态。洛伦兹方程的平衡点随瑞利数r的增加而发生分裂，原来稳定的平衡点变为不平衡状态。原点的稳定性r<1时坐标原点x=y=z=0是稳定的不动点，它是洛伦兹方程唯一吸引子，所有轨线吸引到坐标的原点。如r>1，于是分支出两个新的平衡点C1与C2。说明在r=1时系统将发生一次分岔，跨越r=1意味着原点的吸引子丧失了稳定性，出

7、现了局部的不稳定性。这时在坐标原点出现一维不稳定的流形。这是一次叉式分岔。相应于在贝纳德实验中流体从静态走向对流翻动。2.洛伦兹方程C1与C2的稳定性当r>1,坐标原点为鞍点，两个新平衡点C1与C2是稳定的焦点，它们是C1与C2邻域螺旋线的吸引点，如图所示。C1、C2坐标为：现说明贝纳德实验形成了稳定的定态对流。2.洛伦兹方程当r继续增加直到r=13.962时，两个螺旋线外径会接触合并一起。r=rc时两个平衡点C1与C2发展成了中心点,其邻域的相轨线是椭圆.r>rc时,C1与C2成了不稳定的焦点.定态对流失稳，是不稳定的.这时将出现一次新分岔－霍夫分岔,平衡点C