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《计算方法常微分方程初值问题数值解法-Euler公式-龙格-库塔法.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第12次常微分方程初值问题数值解法计算方法(NumericalAnalysis)内容常微分方程初值问题解的存在性定理Euler公式梯形公式两步Euler公式欧拉法的局部截断误差改进型Euler公式龙格-库塔法算法实现常微分方程初值问题解的存在性定理第9章常微分方程初值问题数值解法包含自变量、未知函数及未知函数的导数的方程称为微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。都是一次的,则称其为线性的,否则称为非线性的。…如果未知函数y及其各阶导数§9.1引言自变量个数只有一个的微分方程称为常微分方程。如下是一些典型方程求解析解的基本方法可分离变量法、
2、常系数齐次线性方程的解法、常系数非齐次线性方程的解法等。的解就不能用初等函数及其积分来表达。但能求解的常微分方程仍然是很少的，大多数的常微分方程是不可能给出解析解。例如，一阶微分方程从实际问题当中归纳出来的微分方程，通常主要依靠数值解法来解决。(9.1)在区间a≤x≤b上的数值解法。本章主要讨论一阶常微分方程初值问题定理1：如果函数f(x,y)在带形区域则方程(9.1)在a,b上存在唯一的连续可微分的解的解y=y(x)。内连续，且关于y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数L(它与x,y无关)使推论：如果函数f(x,y)对y的偏导数在带形区域对R内的所有
3、x，y都成立。即存在常数L(它与x,y无关)使则方程(9.1)在a,b上存在唯一的连续可微解y=y(x)。内有界。HomeEuler公式本章假设微分方程初值问题(9.1)有解常微分方程初值问题(9.1)的数值解法的基本思想：算出精确解y(x)在区间a,b上的一系列离散节点的近似值处的函数值y=y(x)a=x0xn=bx1x2x3(未知)………相邻两个节点的间距称为步长，步长可以相等，也可以不等。数值解法需要把连续性的问题加以离散化，从而求出离散节点的数值解。a=x0xn=bx1x2x3xn-1x4本章总是假定h为定数，称为定步长，这时节点可表示为…常微分方程数值
4、解法的基本出发点：离散化。采用“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序逐步向前推进。中的导数进行离散化处理。以便对初值问题计算的递推公式。算法：要求给出用已知信息…欧拉（Euler）方法是解初值问题的最简单的数值方法。§9.2简单的数值方法与基本概念的解y=y(x)代表通过点的一条称之为微分方程的积分曲线。积分曲线上每一点的切线的斜率等于函数在这点的函数值。9.2.1Euler公式初值问题Euler法的求解过程:从初始点P0(即点(x0,y0))出发，作积分曲线y=y(x)在P0点上切线，其斜率为y=y(x)x0xix1yx2P1(x1,y1)P0Pnxi+1xnP2(
5、x2,y2)Pi(xi,yi)Pi+1(xi+1,yi+1)y(x1)y(x2)y(xi)y(xi+1)y(xn)y(x0)这样就获得了P1点的坐标：(x1,y1)。将y1作为y(x1)的近似值(想象(x1,y1)在积分曲线y=y(x)上)当时，得过点P1(x1,y1)，作积分曲线y=y(x)的切线交直线x=x2于P2点。注意切线的斜率(近似)为直线方程为:当时,得由此获得了P2的坐标。直线的方程为：当时,得重复以上过程,对已求得点,以为（近似）斜率作直线这样,从x0逐个算出对应的数值解……从图形上看,就获得了一条近似于曲线y=y(x)的折线。就获得了一系列的点:P1,
6、P1,…,Pn。…y=y(x)x0xix1yx2y1P0Pnxi+1xny2yiyi+1y(x1)y(x2)y(xi)y(xi+1)y(xn)y(x0)yn微分方程(9.1)的精确解y=y(x)的近似解为：y1，y2，…,yn注：还可用数值积分法和泰勒展开法推导Euler公式（略）。Euler公式Euler法的计算公式可以表达为：(9.2)其中，为常数，i=0,1,…,n解：取h=0.1，根据Euler公式，得例9.1：利用Euler公式求解微分方程的初值问题初值问题有解：由x0=0,y0=1，代入以上公式，得y1=1.1*y0-0.2*x0/y0=1.1课堂练习：计算
7、出x2,y2；x3,y3x0=0,y0=1x1=0.1,y1=1.1xnyny(xn)0.11.10001.09540.21.19181.18320.31.27741.26490.41.35821.34160.51.43511.41420.61.50901.48320.71.58031.54920.81.64981.61250.91.71781.67331.01.78481.7321计算结果比较：初值问题有解：可以由此公式计算出准确解：y(xn)欧拉法准确值y=y(x)的近似解010.10.20.30.40.50.60.70.80.9Ho
