电动力学习题解答1.doc

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1、电动力学习题解答若干运算公式的证明（利用公式得）第一章电磁现象的普遍规律1.根据算符的微分性与向量性，推导下列公式：解：（1）（2）在（1）中令得：，所以即2.设是空间坐标的函数，证明：，，证明：（1）（2）（3）3.设为源点到场点的距离，的方向规定为从源点指向场点。（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：；；；，。（2）求，，，，及，其中、及均为常向量。（1）证明：可见可见，（2）解：因为，为常向量，所以，，，又，为常向量，，而，所以4.应用高斯定理证明，应用斯托克斯（Stokes）定理证明证明：（I）设为任意非零常矢量，则根据矢量分析公式，令其中，，便得所以因

2、为是任意非零常向量，所以（II）设为任意非零常向量，令，代入斯托克斯公式，得（1）（1）式左边为：（2）（1）式右边为：（3）所以（4）因为为任意非零常向量，所以5.已知一个电荷系统的偶极矩定义为，利用电荷守恒定律证明p的变化率为：证明：方法（I）因为封闭曲面S为电荷系统的边界，所以电流不能流出这边界，故，同理，所以方法（II）根据并矢的散度公式得：6.若m是常向量，证明除点以外，向量的旋度等于标量的梯度的负值，即，其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。证明：其中，（），（）又所以，当时，7.有一内外半径分别为和的空心介质球，介质的电容率为，使介质球内均匀带静止自由电荷，求：

3、（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。解：（1）设场点到球心距离为。以球心为中心，以为半径作一球面作为高斯面。由对称性可知，电场沿径向分布，且相同处场强大小相同。当时，，。当时，，，向量式为当时，向量式为（2）当时，当时，当时，8.内外半径分别为和的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流，导体的磁导率为，求磁感应强度和磁化电流。解：（1）以圆柱轴线上任一点为圆心，在垂直于轴线平面内作一圆形闭合回路，设其半径为。由对称性可知，磁场在垂直于轴线的平面内，且与圆周相切。当时，由安培环路定理得：当时，由环路定理得：所以，向量式为当时，所以，向量式为（2）当时，磁化强度为

4、所以在处，磁化面电流密度为在处，磁化面电流密度为9.证明均匀介质内部的体极化电荷密度总是等于体自由电荷密度的倍。证明：在均匀介质中所以10.证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等方向相反(但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律)证明:线圈1在线圈2的磁场中受的力:,而，(1)同理可得线圈2在线圈1的磁场中受的力：(2)(1)式中：同理(2)式中：11.平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为和，电容率为和，今在两板接上电动势为E的电池，求：（1）电容器两极板上的自由电荷面密度和；（2）介质分界面上的自由电荷面密度。(若介质是漏电的，电导率分别为和当电流达到恒定时

5、，上述两物体的结果如何？)解：忽略边缘效应，平行板电容器内部场强方向垂直于极板，且介质中的场强分段均匀，分别设为和，电位移分别设为和，其方向均由正极板指向负极板。当介质不漏电时，介质内没有自由电荷，因此，介质分界面处自由电荷面密度为取高斯柱面，使其一端在极板A内，另一端在介质1内，由高斯定理得：同理，在极板B内和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得：在介质1和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得：所以有，由于E所以E当介质漏电时，重复上述步骤，可得：，，介质1中电流密度介质2中电流密度由于电流恒定，，再由E得EEEEE12.证明：（1）当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的曲折满足其

6、中和分别为两种介质的介电常数，和分别为界面两侧电场线与法线的夹角。（2）当两种导电介质内流有恒定电流时，分界面上电场线的曲折满足其中和分别为两种介质的电导率。证明：（1）由的切向分量连续，得（1）交界面处无自由电荷，所以的法向分量连续，即（2）（1）、（2）式相除，得（2）当两种电介质内流有恒定电流时由的法向分量连续，得（3）（1）、（3）式相除，即得13.试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流情况下，导体内电场线总是平行于导体表面。证明：（1）设导体外表面处电场强度为，其方向与法线之间夹角为，则其切向分量为。在静电情况下

7、，导体内部场强处处为零，由于在分界面上的切向分量连续，所以因此即只有法向分量，电场线与导体表面垂直。（2）在恒定电流情况下，设导体内表面处电场方向与导体表面夹角为，则电流密度与导体表面夹角也是。导体外的电流密度，由于在分界面上电流密度的法向分量连续，所以因此即只有切向分量，从而只有切向分量，电场线与导体表面平行。14.内外半径分别为a和b的无限长圆柱形电容器，单位长度荷电为，板间填充电导率为的非磁性物质。（1）证明在介质中任何一点传